流体力学第三章习题(2)

1?pdux?dux1?p1?2?a??f??0??12xxx???xd??d???x???dudu?1?p1?p1?yy? fy??fy??0??(?4y?z2)? ? 得 ay???yd??d???y??duz1?p1?1?pduz?a??f???g??(?2yz?5)fz??zz??d???z???zd???fx?将ρ=1000 kg/m3；g=9.8 m/s2；x=3，y=1，z=－5代入上式，得 ax??0.108 m/2s；ay?0.029m/2s；az??9.815m/2s； a?222ax?ay?az?(?0.108)2?0.0292?(?9.815)2?9.816m/2s

3－13 已知不可压缩理想流体稳定流动的速度场为

????22232 u?(3x?2xy)i?(y?6xy?3yz)j?(z?xy)k (m/s)

求流体质点在(2，3，1)点处的压力梯度。ρ＝1000kg/m3，g＝9.8m/s2。 已已知知：：ux?3x2?2xy；uy?y2?6xy?3yz2；uz??(z3?xy2)； ρ=1000 kg/m3，g=9.8 m/s2。 解解析析：：由加速度计算式，得

ax?

dux?ux?u?u?u??uxx?uyx?uzxd????x?y?z?(3x2?2xy)(6x?2y)?(y2?6xy?3yz2)(?2x) ?18x3?6x2y?2xy2?6xyz2ay?

duyd???uy???ux?uy?x?uy?uy?y?uz?uy?z?(3x2?2xy)(?6y)?(y2?6xy?3yz2)(2y?6x?3z2)?(z3?xy2)?6yz ?18x2y?6xy2?2y3?9y2z2?36xyz2?6xy3z?3yz4az?duz?uz?u?u?u??uxz?uyz?uzzd????x?y?z

?(3x2?2xy)y2?(y2?6xy?3yz2)?2xy?(z3?xy2)(?3z2) ?9x2y2?3xy2z2?3z5将上式代入欧拉运动微分方程，

1?pdux????xd???1?pduy?f?? y?

??yd??1?pduz?fz?????zd??fx?dux??p3222??(f?)???(18x?6xy?2xy?6xyz)x??xd??duy??p??(fy?)???(18x2y?6xy2?2y3?9y2z2?36xyz2?6xy3z?3yz4) 得 ?d???y??pdu??(fz?z)???(g?9x2y2?3xy2z2?3z5)?d???z将ρ=1000 kg/m3，g=9.8 m/s2；x=2，y=3，z=1代入上式，得

?p?p?p3 ??72kN/m3；?288kN/m3；??282.8kN/m?x?y?z????p??p??p?3则 gradp? i?j?k??72i?288j?28.28kkN/m?x?y?z???3－14 已知不可压缩理想流体的速度场为u?(x?2y)?i?(y?2x)?j (m/s)，流体密

度ρ＝1500kg/m3，忽略质量力，求τ＝1s时位于(x，y)处及(1，2)点处的压力梯度。

?已已知知：：ux?(x?2y)?，uy?(y?2x)?；ρ=1500kg/m；f?0。

3

解解析析：：由加速度计算式，得

ax?

?ux?u?u?uxx?uyx?(x?2y)?(x?2y)????(y?2x)??(?2?)???x?y?uy???uy?x?uy?y

?(x?2y)(1??2)?2(y?2x)?2ay??ux?uy?(y?2x)?(x?2y)??(?2?)?(y?2x)????(y?2x)(1??2)?2(x?2y)?2当τ=1秒时，ax?6(x?y)，ay??6(x?y) 代入欧拉运动微分方程，得

?p?p???ax??6?(x?y)，???ay?6?(x?y) ?x?y则τ＝1s时位于(x，y)处的压力梯度为

?????p??p?d?i?j??6?(x?y)i?6?(x?y)j??6?(x?y)(i?j) grap?x?yτ＝1s时位于(1，2)点处的压力梯度为

???? gradp??6?(x?y)(i?j)?9000(i?j)N/m3

???3－15 已知不可压缩理想流体的速度场为u?Axi?Ayj (m/s)，单位质量力为

??f??gk m/s2，位于坐标原点的压力为p0，求压力分布式。

已已知知：：ux?Ax，uy??Ay；f??gk；p(0，0)?p0 解解析析：：由加速度计算式，得

???ux?u?u?uxx?uyx?A2x???x?y?uy?uy?uy ay??ux?uy?A2y

???x?y?u?u?uaz?z?uxz?uyz?0???x?yax?代入由欧拉运动微分方程，得

?p?p?p???ax???A2x，???ay???A2y，???(g?az)???g ?x?y?z

dp??p?p?pdx?dy?dz???A2xdx??A2ydy??gdz?x?y?z

1?A2(x2?y2)??gz?C 2???A2(xdx?ydy)??gdz积分上式，得 p??当x=0，y=0，z=0时，p=p0，则C=p0。代入上式，得压力分布式为

p?p0?1?A2(x2?y2)??gz 23－16 已知不可压缩理想流体在水平圆环通道中作二维稳定流动，当圆周速度分别为

uθ?k；uθ?kr；uθ?k时，求压力p随uθ和r的变化关系式。 rk已已知知：：(1) uθ?k；(2) uθ?kr；(3) uθ?；ur?uz?0。 r解解析析：：根据已知条件，简化欧拉运动微分方程，

2?ur?ur?uruθ1?p?urfr???ur?uθ?uz???r???rr???zr fθ?1?1fz??????u?u?uuu??p?uθ??urθ?uθθ?uzθ?rθ? r?????rr???zr???u?u?u?p?uz??urz?uθz?uzz??z???rr???z?2?uθ2uθ1?pdr 可以得到 ??? 或写成 dp?r??rr将已知条件代入上式，得 (1) uθ?k时， dp??k2dr2 积分得 p??klnr?C1 r1?k2r2?C2 2k12?22dr(3) uθ?时， dp??k3 积分得 p???kr?C3 r2r(2) uθ?kr时， dp??k2rdr 积分得 p?3－17 已知不可压缩理想流体的速度分量为ux?ay，uy?bx，uz?0，不计质量力，求等压面方程。

已已知知：：ux?ay，uy?bx，uz?0；f?0。 解解析析：：由加速度计算式，得

??ux?u?u?uxx?uyx?0?0?abx?abx???x?y?uy?uy?uy ay??ux?uy?0?aby?0?aby

???x?y?u?u?uaz?z?uxz?uyz?0???x?yax?代入由欧拉运动微分方程，得

?p?p?p???ax???ab，x???ay???ab，y???az?0 ?x?y?z?p?p?pdx?dy?dz???abxdx??abydy???ab(xdx?ydy) ?x?y?z则 dp?在等压面上，dp?0，则等压面微分方程为 (xdx?ydy)?0 积分上式，得等压面方程 x?y?C

3－18 若在150mm直径管道内的截面平均流速为在200mm直径管道内的一半，问流过该两管道的流量之比为多少？

已已知知：：d1=150mm，d2=200mm；u2=2u1。 解解析析：：根据流量计算式，可得

22Q1A1u1du150219??(1)2(1)?()()??0.28 Q2A2u2d2u22002323－19 蒸气管道的干管直径d1＝50mm，截面平均流速u1＝25m/s，密度ρ1＝2.62kg/m3，蒸气分别由两支管流出，支管直径d2＝45mm，d3＝40mm，出口处蒸气密度分别为ρ2＝2.24kg/m3，ρ3＝2.30kg/m3，求保证两支管质量流量相等的出口流速u2和u3。

已已知知：：d1=50mm，d2=45mm，d3=40mm，u1=25m/s， ρ1=2.62kg/m3，ρ2=2.24kg/m3，ρ3=2.30kg/m3，M2=M3。

解解析析：：根据已知条件列连续性方程，

111?d12?1u1??d22?2u2??d32?3u3 ① 444

11?d22?2u2??d32?3u3 ② 442 ③ ?1u1d12?2?2u2d2将②式代入①式，得

则 u2?代入②式，得

1?1d1212.6250 ()()u1??()?()2?25?18.05m/s2?2d222.2445 u3?(?2d222.2445 )()u2?()?()2?18.05?22.25m/s?3d32.30403－20 水射器如图所示，高速水流uj由喷嘴射出，带动管道内的水体。已知1截面管道内的水流速度和射流速度分别为u1＝3m/s和uj＝25m/s，管道和喷嘴的直径分别为0.3m和85mm，求截面2处的平均流速u2。

已已知知：：D=0.3m，d=85mm，u1=3m/s，uj=25m/s 解解析析：：列连续性方程，

111?(D2?d2)u1??d2uj??D2u2 444d2d0.08520.0852)]u1?()2uj?[1?()]?3?()?25?4.766m/s DD0.300.30则截面②处的平均流速为 u2?[1?(3－21 已知圆管中流速分布为u?umax(y17)，r0为圆管半径，y为离管壁的距离，umaxr0为管轴处的最大流速，求流速等于截面平均流速的点离管壁的距离yc。

已已知知：：速度分布为 u?umax(解解析析：：截面平均流速为

y17) r01 u??r02令 u?uma(x得 yc?(?r00y7yy49 u?2?rdr?2uma?()(1?)d()?umaxx0rr0r060011y1749 )?u?umaxr060497)r0?0.2423r0 603－22 管道末端装一喷嘴，管道和喷嘴直径分别为D＝100mm和d＝30mm，如通过的流量为0.02m3/s，不计水流过喷嘴的阻力，求截面1处的压力。

已已知知：：D=100mm，d=30mm，Q=0.02m3/s，pm2=0。 解解析析：：由连续性方程，得

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