毕达哥拉斯定理的证明(3)

则可证明直线FC就是由已知直线AB上的已知点C作出的和AB成直角的直线。

事实上，因为DC等于CE，且CF公用；两边DC，CF分别等于两边EC，CF；且底DF等于底FE。

所以，角DCF等于角ECF。【命题7】

它们又是临角。由【定义1】知角DCF，FCE每一个都是直角。 从而，由已知直线AB上的已知点C作出的直线CF和AB成直角。 作完。

? 【命题11】命题：一条直线和另一条直线所交成的角，或者是两个直角或者

它们的和等于两个直角。

命题 11

证明：

设任意直线AB在直线CD的上侧和它交成角CBA，ABD。 则可证角CBA，ABD或者都是直角或者其和等于两个直角。 现在，若角CBA等于角ABD，那么它们是两个直角。【定义1】

但是，假若不是，设BE是由点B所作的和CD成直角的直线。【命题10】 于是角CBE，EBD是两个直角。

这时因为角CBE等于两个角CBA，ABE的和，给它们各加上角EBD；则角CBE，EBD的和就等于三个角CBA，ABE，EBD的和。【公理2】

再者，因为角DBA等于两个角DBE，EBA的和，给它们各加上角ABC；则角DBA，ABC的和就等于三个角DBE，EBA，ABC的和。【公理2】

但是，角CBE，EBD的和也被证明了等于相同的三个角的和。 由【公理1】

故角CBE，EBD的和也等于角DBA，ABC的和，但是角CBE，EBD的和是二直角。

所以，角DBA，ABC的和也等于二直角。 证完。

? 【命题12】命题：如果过任意直线上一点有两条直线不在这一直线的同侧，

且和直线所成邻角和等于二直角，则这两条直线在同一直线上。

命题 12

证明：

因为，过任意直线AB上面一点B，有二条不在AB同侧的直线BC，BD成邻角ABC，ABD，其和等于二直角。

则可证BD和BC不在同一直线上，设BE和CB在同一直线上，因为，直线AB位于直线CBE之上，角ABC，ABE的和等于二直角【命题11】

但是，角ABC，ABD的和也等于二直角，所以，角CAB，ABE的和等于角CAB，ABD的和。【共设4和公理1】

由它们中各减去CAB，于是余下的角ABE等于余下的角ABD。【公理3】 这时，小角等于大角；这是不可能的。 所以，BE和CB不在一直线上。

类似的。我们可以证明BD外再没有其他的直线和CB在同一条直线上。

证完。

? 【命题13】命题：如果两直线相交，则它们交成的对顶角相等。

命题 13

设直线AB，CD相交于点E，则可证角AEC等于角DEB.角CEB等于角AED。 事实上，因为直线AE于直线CD上侧，而构成角CEA，AED;角CEA，AED的和等于二直角

又，因为直线CE位于直线AB的上侧，构成角AED，DEB;角AED，DEB的和等于二直角.【命题11】

但是，已经证明CEA，AED的和等于二直角.

故角CEA，AED的和等于角AED，DEB和【共设4】【公理1】

由它们中各减去角AED则其余的角CEA等于其余的角BED. 【公理3】 类似地，可以证明角CEB也等于角DEA. 证完

? 【命题14】命题：在任意的三角形中，若延长一边，则外角大于任何一个内

对角。

命题 14

证明：

设ABC是一个三角形，延长边BC到点D 则可证外角ACD大于内角CBA，BAC的任何一个.

设AC被二等分于点E。【命题9】

连接BE井延长至点F，使EF等于BE 【命题3】 连接FC【共设1】

延长AC至G，【共设2】那么，因为AE等于EC ,BE等于EF,两边AE,EB分别等于两边

CE，EF，又角AEB等于角FEC，因为它们是对顶角.【命题13】

所以，底AB等于底EC，且三角形ABE,全等于三角形CFE，余下的角也分别等于余下的角，即等边所对的角，【命题4】

所以.角BAE等于角ECF。但是，角ECD大于角ECF.【公理5】 所以，角ACD大于角BAE .

类似地也有，若BC被平分，角BCG，也就是角ACD。【命题13】 可以证明它大于角几ABC. 证完

? 【命题15】试由分别等于已知三条线段的三条线段作一个三角形；在这样的

三条已知线段中，任二条线段之和必须大于另一条线段。

命题 15

设三条已知线段是A，B，C。它们中任何两条只和大于另外一条。即A,B的和大于C；A,C的和大于B；B,C的和大于A。

现在要求由等于A，B，C的三条线段作一个三角形。设另外有一条直线DE，一段为D,而在E方向无限延长。

令DF等于A,FG等于B,GH等于C。【命题3】

以F为心，FD为距离，画圆DKL；又一G为心，以GH为距离，画圆KLH交圆KLD于点K，并连接KF，KG。

则可证三角形KFG就是由等于A,B，C的三条线段所作的三角形。 事实上，因为点F是DKL的圆心，FD等于FK. 但是，FD等于A，故KF也等于A。

又因为点G是圆LKH的圆心。故GH等于GK。 但是，GH等于C，故KF也等于C。但是FG等于B。 所以三条线段KF，FG，GK等于已知线段A，B，C。

于是，由分别等于已知线段A，B，C的三条线段KF，FG，GK作出了三角形KFG。

作完。

? 【命题16】在已知直线和它面上一点，作一个直线角等于已知直线角。

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