毕达哥拉斯定理的证明(5)

则可证平行四边形ABCD的对边相等，对角线BC二等分其面片。 事实上，因为AB平行于CD，且直线BC与它们相交的错角ABC与BCD彼此相等。【命题19】

又因为AC平行于BD，且BC和它们相交，内错角ACB与CBD相等。【命题19】

所以，ABC，DCB是具有两个ABC，BCA分别等于角DCB，CBD的三角形，且一条边等于一条边，即与等角相邻且是二者公共的边BC。

所以，它们其余的边也分别等于其余的边，且其余的角也相等。【命题17】 所以边AB等于CD，AC等于BD，且角BAC等于角CBD。

角ABC等于角BCD，且角CBD而已角ACB，整体角ABD等于整体角ACD。【公理2】

而且也证明了角BAC等于角CBD。

所以，在平面四边形中，对边相等，对角彼此相等。 其次，可证对角线也二等分其面片。 因为，AB等于CD，且BC公用。

两边AB，BC分别等于两边DC，CB，且角ABC等于角BCD，所以，底AC等于底DB，且三角形ABC全等于三角形DCB。【命题4】

所以，对角线BC二等分平行四边形ABCD。 证完。

? 【命题22】在同底上且在相同两平行线之间的平行四边形彼此相等。

命题 22

设ABCD，EBCF是平行四边形，它们有同底BC且在相同二平行线AF，BC之间。

则可证ABCD等于平行四边形EBCF。

因为，由于ABCD是平行四边形，故AD也等于BC。【命题21】 同理也有EF等于BC，这样AD也等于EF。【公理1】 又DE公用，所以整体AE等于整体EF【公理2】 但AB也等于DC。【命题21】

所以两边EA，AB分别等于两边FD，DC，且角FDC等于角EAB，这是因为同位角相等。【1.29】

所以，底EB等于底FC。

且三角形EAB全等于三角形FDC。【1.4】 由上边每一个减去三角形DGE，

则剩余的梯形ABGD仍然等于剩余的梯形EGCF 【公理3】 给上边每一个加上三角形GBC，

则整体平行四边形ABCD等于整体平行四边形EBCF。【公理2】 证完。

? 【命题23】在同底上且在相同二平行线之间的三角形彼此相等。

命题 23

设三角形ABC，DBC同底且在相同二平行线AD，BC之间。 则可证三角形ABC等于三角形DBC。

向两个方向延长AD至E，F，过B作BE平行于CA。【命题31】 过C作CF平行于BD

因图形EBCA，DBCF都是平行四边形，且它们相等。 因它们在同底BC上且在二平行线BC，EF之间。【命题22】

此外，三角形ABC是平行四边形EBCA的一半，因为对角线AB二等分它。【命题21】

又三角形DBC是平行四边形DBCF的一半，因为对角线DC平分它。【命题21】

但是相等的量的一半也彼此相等。 所以，三角形ABC等于三角形DBC。 证完。

? 【命题24】命题：如果一个平行四边形和一个三角形既同底又在二平行线之

间。则平行四边形是这个三角形的二倍。

命题 24

证明：

因为可设平行四边形ABCD和三角形EBC有共同的底BC，又在相同二平行线BC，AE之间。

则可证平行四边形ABCD是三角形BEC的二倍。 连接AC。

那么，三角形ABC等于三角形EBC，因为二者有同底BC，又在相同的平行线BC，AE之间。【命题23】

但是平行四边形ABCD是三角形ABC的二倍，这是因为对角线AC二等分ABCD。【命题21】

这样一来，平行四边形ABCD也是三角形EBC的二倍。 证完。

? 【命题25】命题：在已知线段上作一个正方形

命题 25

设AB是已知线段；要求在线段AB上作一个正方形。

令AC是从线段AB上的点A所画的直线，它与AB成直角。【命题10】 取AD等于AB；

过点D作DE平行于AB，过点B作BE平行于AD，所以ADEB是平行四边形；从而AB等于DE，且AD等于BE。【命题21】

但是，AB等于AD，所以四条线段BA、AD、DE、EB彼此相等；所以平行四边形ADEB是等边的。

其次，又可证四个角都是直角。

由于线段AD和平行线AB，DE相交，角BAD，ADE的和等于二直角。又角BAD是直角；故角ADE也是直角。【命题21】

所以，对角ABE，BED的每一个角也是直角，从而ADEB是直角的。并且它也是等边的。【定义3】

所以，它是在线段AB上做成的一个正方形。

作完。

根据上述25个命题的证明，下面给出毕达哥拉斯定理的主证明： 补充公式：

【公式1】正方形面积等于其边长的平方。

【主证明】命题：一个直角三角形斜边的平方，等于其两个直角边的平方和。

证明：

设ABC是直角三角形，已知角BAC是直角。 则可证BC上的正方形等于BA，AC上正方形的和。

事实上，在BC上作正方形BDEG，且在BA，AC上作正方形GB，HG。【命题25】

过A作AL平行于BD或GE，连接AD，FG。

因为角BAC，BAG的每一个都是直角，在一条直线上BA上得一个点A有两条直线AC、AG不在它的同一侧所成的量邻角的和等于二直角，于是CA与AG在同一条直线上。【命题12】

同理，BA也与AH在同一条直线上。

又因为角DBC等于角FBA；因为每一个角都是直角；给以上两个角各叫上角ABC；

所以，整体角DBA等于整体角FBC。【公理2】

又因为DB等于BC，FB等于BA；两边AB，BD分别等于两边FB，BC。 又角ABD等于角FBC；所以底AD等于底FC，且三角形ABD全等于三角形FBC。【命题4】

现在，平行四边形BL等于三角形ABD的二倍，因为它们有同底BD且在平行线BD，AL之间。【命题24】

又正方形GB是三角形FBC的二倍，因为它们有同底FB且在相同的平行线FB，GC之间。【命题24】

故，整体正方形BDEC等于两个正方形GB，HC的和。【公理2】

而正方形BDEC是再BC上作出的，正方形GB，HC是在BA，AC上作出的。 所以，在边BC上的正方形等于边BA，AC上正方形的和。

所以，BC边的平方等于BA边的平方加上AC边的平方。【公式1】 证完。

参 考 文 献：

欧几里德《几何原本》，陕西科学技术出版社 2003年6月第二版。

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