新课程标准数学选修2-1第二章课后习题解答[唐金制]

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新课程标准数学选修2—1第二章课后习题解答

第二章 圆锥曲线与方程 2．1曲线与方程 练习（P37）

1、是. 容易求出等腰三角形ABC的边BC上的中线AO所在直线的方程是x 0.

3218,b 2、a . 25253、解：设点A,M的坐标分别为(t,0)，(x,y). （1）当t 2时，直线CA斜率 kCA 所以，kCB

2 02

2 t2 t

1t 2

kCA2

t 2

(x 2). 2

由直线的点斜式方程，得直线CB的方程为 y 2 令x 0，得y 4 t，即点B的坐标为(0,4 t).

t4 t

由于点M是线段AB的中点，由中点坐标公式得x ,y .

22

t4 t

由x 得t 2x，代入y ，

224 2x

得y ，即x y 2 0……①

2 （2）当t 2时，可得点A,B的坐标分别为(2,0)，(0,2) 此时点M的坐标为(1,1)，它仍然适合方程①

由（1）（2）可知，方程①是点M的轨迹方程，它表示一条直线. 习题2.1 A组（P37）

1、解：点A(1, 2)、C(3,10)在方程x2 xy 2y 1 0表示的曲线上；

点B(2, 3)不在此曲线上

2、解：当c 0时，轨迹方程为x

c 1

；当c 0时，轨迹为整个坐标平面. 2

3、以两定点所在直线为x轴，线段AB垂直平分线为y轴，建立直角坐标系，得点M的轨迹方程为x2 y2 4.

4、解法一：设圆x2 y2 6x 5 0的圆心为C，则点C的坐标是(3,0). 由题意，得CM AB，则有kCMkAB 1.

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所以，

yy

1(x 3,x 0) x 3x

化简得x2 y2 3x 0(x 3,x 0)

当x 3时，y 0，点(3,0)适合题意；当x 0时，y 0，点(0,0)不合题意.

22 5 x

y 3x 0

解方程组 2， 得 x ,y 2

3 x y 6x 5 0

所以，点M的轨迹方程是x2 y2 3x 0， 解法二：注意到 OCM是直角三角形，

5

x 3. 3

利用勾股定理，得x2 y2 (x 3)2 y2 9， 即x2 y2 3x 0. 其他同解法一. 习题2.1 B组（P37）

1、解：由题意，设经过点P的直线l的方程为 因为直线l经过点P(3,4)，所以 因此，ab 4a 3b 0

由已知点M的坐标为(a,b)，所以点M的轨迹方程为xy 4x 3y 0. 2、解：如图，设动圆圆心M的坐标为(x,y).

由于动圆截直线3x y 0和3x y 0所得弦分别为

xy

1. ab

34 1 ab

AB，CD，所以，AB 8，CD 4. 过点M分别 作直线3x y 0和3x y 0的垂线，垂足分别为E，

F，则AE 4，CF 2.

ME

，MF

.

连接MA，MC，因为MA MC， 则有，AE ME CF MF

2

2

2

2

(3x y)2(3x y)2

4 所以，16 ，化简得，xy 10. 1010因此，动圆圆心的轨迹方程是xy 10.

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2．2椭圆 练习（P42）

1、14. 提示：根据椭圆的定义，PF1 PF2 20，因为PF2 14. 1 6，所以PF

x2y2x2y2y2x222

x 1； （3） 2、（1） y 1； （2） 1，或 1.

1616361636163、解：由已知，a 5，b 4，所以c 3. （1） AF1B的周长 AF1 AF2 BF1 BF2.

由椭圆的定义，得AF1 AF2 2a，BF1 BF2 2a. 所以， AF1B的周长 4a 20.

（2）如果AB不垂直于x轴， AF1B的周长不变化.

这是因为①②两式仍然成立， AF1B的周长 20，这是定值. 4、解：设点M的坐标为(x,y)，由已知，得

直线AM的斜率 kAM 直线BM的斜率 kBM由题意，得

y

(x 1)； x 1y (x 1)； x 1

yykAM

2 (x 1,y 0) 2，所以

x 1x 1kBM

化简，得x 3(y 0)

因此，点M的轨迹是直线x 3，并去掉点( 3,0).

练习（P48）

1、以点B2（或B1）为圆心，以线段OA2（或OA1为半径画圆，圆与x轴的两个交点分别为F1,F2. 点F1,F2就是椭圆的两个焦点.

这是因为，在Rt B2OF2中，OB2 b，B2F2 所以，OF2 c. 同样有OF1 c. 2、（1）焦点坐标为( 8,0)，(8,0)； （2）焦点坐标为(0,2)，(0, 2).

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3、（1） 1； （2） 1.

36322516

x2y2x2y2y2x2

1，或 1. 4、（1） 1 （2）

100641006494

1x2y2 1的离心率是， 5、（1）椭圆9x y

36的离心率是，椭圆

216123

2

2

x2y21

1更圆，椭圆9x2 y2 36更扁；

，所以，椭圆

16122x2y2

1（2）椭圆x 9y

36，椭圆 ，

6102

2

x2y2 1更圆，椭圆x2 9y2 36更扁.

因为，所以，椭圆

61035848706、（1）(3,)； （2）(0,2)； （3）( , ). 7

、.

537377习题2.2 A组（P49）

1、解：由点M(x,y

) 10以及椭圆的定义得，

点M的轨迹是以F1(0, 3)，F2(0,3)为焦点，长轴长为10的椭圆.

y2x2

1. 它的方程是

2516

x2y2y2x2x2y2y2x2

1，或 1. 1； （2） 1； （3） 2、（1）

4940494036322593、（1）不等式 2 x 2， 4 y 4表示的区域的公共部分； （2

）不等式 x ，

1010

y 表示的区域的公共部分. 图略. 33

4、（1）长轴长2a 8，短轴长2b

4，离心率e

焦点坐标分别是(

，，顶点坐标分别为( 4,0)，(4,0)，(0, 2)，(0,2)； （2）长轴长2a 18，短轴长2b

6，离心率e

，

3

焦点坐标分别是(0,

，，顶点坐标分别为(0, 9)，(0,9)，( 3,0)，(3,0).

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5、（1） 1； （2） y 1，或 1；

985819x2y2y2x2

1，或 1. （3）

2592596、解：由已知，椭圆的焦距F1F2 2.

1

因为 PF1F2的面积等于1，所以， F1F2 yP 1，解得yP 1.

2

x21 代入椭圆的方程，得

1，解得x .

542 所以，点P

的坐标是(

1)，共有4个. 2

7、解：如图，连接QA. 由已知，得QA QP. 所以，QO QA QO QP OP r. 又因为点A在圆内，所以OA OP

（第7题）

根据椭圆的定义，点Q的轨迹是以O,A为焦点，r为长轴长的椭圆. 8、解：设这组平行线的方程为y

3

x m. 2

3x2y2

1，得9x2 6mx 2m2 18 0. 把y x m代入椭圆方程

249 这个方程根的判别式 36m2 36(2m2 18) （1）由

0，得 m 当这组直线在y

轴上的截距的取值范围是( 时，直线与椭圆相交. （2）设直线与椭圆相交得到线段AB，并设线段AB的中点为M(x,y).

x1 x2m

. 23

3m

因为点M在直线y x m上，与x 联立，消去m，得3x 2y 0.

23

这说明点M的轨迹是这条直线被椭圆截下的弦（不包括端点），这些弦的中点在一

条直线上. 则 x

x2y2

1.

9、

3.52522.8752

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10、地球到太阳的最大距离为1.5288 108km，最下距离为1.4712 108km. 习题2.2 B组（P50）

1、解：设点M的坐标为(x,y)，点P的坐标为(x0,y0)，

则x x0，y

3y02

. 所以x0 x，y0 y ……①. 23

22

因为点P(x0,y0)在圆上，所以x0 y0 4 ……②.

42x2y2将①代入②，得点M的轨迹方程为x y 4，即 1

949

2

所以，点M的轨迹是一个椭圆

与例2相比可见，椭圆也可以看作是由圆沿某个方向压缩或拉伸得到.

2、解法一：设动圆圆心为P(x,y)，半径为R，两已知圆的圆心分别为O1,O2.

分别将两已知圆的方程 x2 y2 6x 5 0，x2 y2 6x 91 0 配方，得 (x 3)2 y2 4， (x 3)2 y2 100

当 P与 O1：(x 3)2 y2 4外切时，有O1P R 2 ……① 当 P与 O2：(x 3)2 y2 100内切时，有O2P 10 R ……② ①②两式的两边分别相加，得O1P O2P 12

12 ……③ 化简方程③.

先移项，再两边分别平方，并整理，得

12 x ……④ 将④两边分别平方，并整理，得 3x2 4y2 108 0 ……⑤

x2y2

1 ……⑥ 将常数项移至方程的右边，两边分别除以108，得

3627由方程⑥可知，动圆圆心的轨迹是椭圆，它的长轴和短轴长分别为12

，

12 ……①

由方程①可知，动圆圆心P(x,y)到点O1( 3,0)和点O2(3,0)距离的和是常数12， 所以点P的轨迹方程是焦点为( 3,0)、(3,0)，长轴长等于12的椭圆.

并且这个椭圆的中心与坐标原点重合，焦点在x轴上，于是可求出它的标准方程. 因为 2c 6，2a 12，所以c 3，a 6

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所以b2 36 9 27.

x2y2

1. 于是，动圆圆心的轨迹方程为

3627

MF1

3、解：设d是点M到直线x 8的距离，根据题意，所求轨迹就是集合P Md2 由此得

1

2

2

2

x2y2

将上式两边平方，并化简，得 3x 4y 48，即 1

1612 所以，点M的轨迹是长轴、短轴长分别为8，. 4、解：如图，由已知，得E(0, 3)，F 因为R,S,T是线段OF R ,S ,T 是线段CF 所以，R(1,0),S(2,0),T(3,0)；

933

R (4,),S (4,),T (4,).

424 直线ER的方程是y 3x 3；

3x 3.

16（第4题）

3245

联立这两个方程，解得 x ,y .

17173245

所以，点L的坐标是(,).

17171699621

同样，点M的坐标是(,)，点N的坐标是(,).

552525

直线GR 的方程是y

x2y2

由作图可见，可以设椭圆的方程为2 2 1(m 0,n 0) ……①

mn 把点L,M的坐标代入方程①，并解方程组，得

1111

，. m242n232

x2y2

1. 所以经过点L,M的椭圆方程为

169

196121x2y2

把点N的坐标代入 ，得 ()2 ()2 1，

1625925169

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x2y2

所以，点N在 1上.

169

x2y2

因此，点L,M,N都在椭圆 1上.

1692．3双曲线 练习（P55）

x2y2y22

1. 1、（1） 1. （2）x 3169 （3）解法一：因为双曲线的焦点在y轴上

y2x2

所以，可设它的标准方程为2 2 1(a 0,b 0)

ab 将点(2, 5)代入方程，得 又 a2 b2 36

2222 ab 4a 25b 0

解方程组 2 2

a b 36

2542222

1ab 4a 25b 0 ，即22ab

mn 4m 25n 0

令m a2,n b2，代入方程组，得

m n 36 m 20 m 45

解得 ，或

n 16n 9

第二组不合题意，舍去，得a2 20,b2 16

y2x2

1

所求双曲线的标准方程为

2016

解法二：根据双曲线的定义，有2a

所以，a 又c 6，所以b2 36 20 16

y2x2

1. 由已知，双曲线的焦点在y轴上，所以所求双曲线的标准方程为

20162、提示：根据椭圆中a2 b2 c2和双曲线中a2 b2 c2的关系式分别求出椭圆、双曲线的焦点坐标.

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3、由(2 m)(m 1) 0，解得m 2，或m 1 练习（P61）

1、（1

）实轴长2a 2b

4；顶点坐标为 ； 焦点坐标为(6,0),(

6,0)；离心率e

. 4

（2）实轴长2a 6，虚轴长2b 18；顶点坐标为(3,0),( 3,0)；

焦点坐标为

；离心率e（3）实轴长2a 4，虚轴长2b 4；顶点坐标为(0,2),(0, 2)；

焦点坐标为

；离心率e （4）实轴长2a 10，虚轴长2b 14；顶点坐标为(0,5),(0, 5)；

焦点坐标为

；离心率e

5

x2y2y2x2x2y2

1； （2） 1. 3、 1 2、（1）

169362835x2y2

1，渐近线方程为y x. 4、

181814225

5、（1）(6,2),(, )； （2）(,3)

334

习题2.3 A组（P61）

y2x2

1. 因为a 8，由双曲线定义可知，点P到两焦点距1、把方程化为标准方程，得

6416离的差的绝对值等于16. 因此点P到另一焦点的距离是17.

x2y2x2y2

1. （2） 1 2、（1）

201625755

； 35

（2）焦点坐标为F1(0, 5),F2(0,5)，离心率e ；

43、（1）焦点坐标为F1( 5,0),F2(5,0)，离心率e

x2y2y2x2

1. （2） 1 4、（1）

2516916 （3

）解：因为e

c

c2 2a2，因此b2 c2 a2 2a2 a2 a2. a

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x2y2y2x2

设双曲线的标准方程为 2 2 1，或2 2 1.

aaaa 将( 5,3)代入上面的两个方程，得

259925

1 2 1. ，或222aaaa

解得 a2 16 （后一个方程无解）.

x2y2

所以，所求的双曲线方程为 1.

16165、解：连接QA，由已知，得QA QP. 所以，QA QO QP QO OP r. 又因为点A在圆外，所以OA OP.

根据双曲线的定义，点Q的轨迹是以O,A为焦点，r为实轴长的双曲线.

x2y2

1. 6、

88习题2.3 B组（P62）

x2y2

1 1、

169

2、解：由声速及A,B两处听到爆炸声的时间差，可知A,B两处与爆炸点的距离的差，

因此爆炸点应位于以A,B为焦点的双曲线上.

使A,B两点在x轴上，并且原点O与线段AB的中点重合，建立直角坐标系xOy. 设爆炸点P的坐标为(x,y)，则 PA PB 340 3 1020. 即 2a 1020，a 510.

又AB 1400，所以2c 1400，c 700，b2 c2 a2 229900.

x2y2

1. 因此，所求双曲线的方程为

260100229900

x2y2

3、2 2 1

ab

4、解：设点A(x1,y1)，B(x2,y2)在双曲线上，且线段AB的中点为M(x,y).

设经过点P的直线l的方程为y 1 k(x 1)，即y kx 1 k

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y2

把y kx 1 k代入双曲线的方程x 1得

2

2

(2 k2)x2 2k( 1kx) ( 12k )（ 22 0k2 0） ……①

x1 x2k(1 k)

2

22 kk(1 k)

1，解得 k 2. 由题意，得

2 k2所以，x

当k 2时，方程①成为2x2 4x 3 0.

根的判别式 16 24 8 0，方程①没有实数解.

所以，不能作一条直线l与双曲线交于A,B两点，且点P是线段AB的中点.

2．4抛物线 练习（P67）

1、（1）y2 12x； （2）y2 x； （3）y2 4x,y2 4x,x2 4y,x2 4y.

112、（1）焦点坐标F(5,0)，准线方程x 5； （2）焦点坐标F(0,)，准线方程y ；

88

55

（3）焦点坐标F( ,0)，准线方程x ； （4）焦点坐标F(0, 2)，准线方程y 2；

88p

3、（1）a，a . （2

）

，(6,

2

提示：由抛物线的标准方程求出准线方程. 由抛物线的定义，点M到准线的距离等于9，

所以 x 3 9，x

6，y 练习（P72）

16

1、（1）y2 x； （2）x2 20y；

5（3）y2 16x； （4）x2 32y. 2、图形见右，x的系数越大，抛物线的开口越大. 3、解：过点M(2,0)且斜率为1的直线l的方程 为y x 2

y x 2

与抛物线的方程y 4x联立 2

y 4x

2

x1 4 x2 4 解得

y1 2 y2 2 设A(x1,y1)，B(x2,y

2)，则AB

4、解：设直线AB的方程为x a(a 0).

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将x a代入抛物线方程y2 4x，得y2

4a，即y . 因为

AB 2y 2 ， 所以，a 3

因此，直线AB的方程为x 3.

习题2.4 A组（P73）

11

1、（1）焦点坐标F(0,)，准线方程y ；

2233

（2）焦点坐标F(0, )，准线方程y ；

161611

（3）焦点坐标F( ,0)，准线方程x ；

8833

（4）焦点坐标F(,0)，准线方程x .

222、（1）y2 8x； （2

）

，或(4,

3、解：由抛物线的方程y2 2px(p 0)，得它的准线方程为x

p

. 2

根据抛物线的定义，由MF 2p，可知，点M的准线的距离为2p. 设点M的坐标为(x,y)，则 x 将x

p3p 2p，解得x . 22

3p

代入y2

2px中，得y . 2

3p3p

因此，点M

的坐标为(

)，(,).

224、（1）y2 24x，y2 24x； （2）x2 12y（图略）

5、解：因为 xFM 60 ，所以线段FM

所在直线的斜率k tan60 . 因此，直线FM的方程为

y x 1)

y x 1)

与抛物线y

4x联立，得

2

y 4x

1

将代入得，3x2 10x 3 0，解得，x1 ，x2 3

3

2

把x1

1，x2 3分别代入①得

y1

，y2 31不合题意，所以点M

的坐标为. 由第5

题图知(,

33

因此，FM 4

6、证明：将y x 2代入y2 2x中，得(x 2)2 2x，

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化简得 x2 6x 4 0，解得

x 3 则

y 3 2 1 因为

kOB

，kOA

1 5

1 9 5

所以

kOB kOA 所以 OA OB

7、这条抛物线的方程是x2 17.5y 8、解：建立如图所示的直角坐标系，

设拱桥抛物线的方程为x2 2py， 因为拱桥离水面2 m，水面宽4 m 所以 22 2p( 2)，p 1

因此，抛物线方程为x 2y ……①

2

（第8题）

水面下降1 m，则y 3，代入①式，得x2 2 (

3)，x

这时水面宽为m.

习题2.2 B组（P74）

1、解：设垂线段的中点坐标为(x,y)，抛物线上相应点的坐标为(x1,y1).

根据题意，x1 x，y1 2y，代入y12 2px1，得轨迹方程为y2

1

px. 2

p

由方程可知，轨迹为顶点在原点、焦点坐标为(,0)的抛物线.

8

2、解：设这个等边三角形OAB的顶点A,B在抛物线上，且坐标分别为(x1,y1)，(x2,y2)，

2

则 y12 2px1，y2 2px2.

222又OA OB，所以 x1 y12 x2 y2

22即x12 x2) 2p(x1 x2) 0 2px1 2px2 0，(x12 x2

因此，(x1 x2)(x1 x2 2p) 0 因为x1 0,x2 0,2p 0，所以x1 x2 由此可得y1 y2，即线段AB关于x轴对称.

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因为x轴垂直于AB，且 AOx 30

，所以

y1. tan30

x13

y12

因为x1

，所以y1

，因此AB 2y1 .

2p

3、解：设点M的坐标为(x,y)

y

(x 1). x 1y

(x 1). 直线BM的斜率 kBM

x 1yy 2(x 1)，由题意，得kAM kBM 2，化简，得x2 (y 1)(x 1) x 1x 1由已知，得 直线AM的斜率 kAM

第二章 复习参考题A组（P80）

1、解：如图，建立直角坐标系，使点A,B,F2在x轴上，F2为椭圆的右焦点（记F1为左焦点）.

x2y2

因为椭圆的焦点在x轴上，所以设它的标准方程为2 2 1(a b 0).

a

则 a c OA OF2 F2A 6371 439 6810，

a c OB OF2 F2B 6371 2384 8755解得 a 7782.5，c 8755

所以 b 用计算器算得 b 7722

x2y2

1. 因此，卫星的轨道方程是

7783277222

（第1题）

2R r1 r2

a a c R r1 2

2、解：由题意，得 ， 解此方程组，得

r ra c R r 2 c 21

2

因此卫星轨道的离心率e

3、（1）D； （2）B.

4、（1）当 0 时，方程表示圆.

cr2 r1

. a2R r1 r2

y2

1. 方程表示焦点在y轴上的椭圆. （2）当0 90 时，方程化成x cos

2

新课程标准数学选修2-1第二章课后习题解答[唐金制]

（3）当 90 时，x2 1，即x 1，方程表示平行于y轴的两条直线.

0 180 时， （4）当9因为cos 0，所以x2 y2cos 1表示双曲线，其焦点在x轴

上. 而当 180 时，方程表示等轴双曲线. 5、解：将y kx 1代入方程x2 y2 4

得 x2 k2x2 2kx 1 4 0 即 (1 k2)x2 2kx 5 0 ……① 4k2 20(1 k2令

0，解得k

2

6) 20 k1

，或k 22

因为 0，方程①无解，即直线与双曲线没有公共点， 所以，k

的取值范围为k

，或k pp

6、提示：设抛物线方程为y2 2px，则点B的坐标为(,p)，点C的坐标为(, p)

22 设点P的坐标为(x,y)，则点Q的坐标为(x,0).

因为，PQ y BC 2p，OQ x.

所以，PQ BCOQ，即PQ是BC和OQ的比例中项.

7、解：设等边三角形的另外两个顶点分别是A,B，其中点A在x轴上方.

直线FA的方程为

y

2

p

x ) 32

与y2 2px联立，消去x，得

y2 p2 0 解方程，得

y1

2)p，y2 2)p

把y1

2)p代入y

7p

x )，得

x1 ( p.

227p

x )，得

x2 ( p.

232

把y2

2)p代入y

77

所以，满足条件的点A

有两个A1(( p

2)p)，A2(( p2)p).

22

新课程标准数学选修2-1第二章课后习题解答[唐金制]

7

根据图形的对称性，可得满足条件的点B

也有两个B1(( p,

2)p)，

27

B2(( p, 2)p)

2

所以，等边三角形的边长是A1B1

2)p，或者A2B2 2(2p. 8、解：设直线l的方程为y 2x m.

把y 2x m代入双曲线的方程2x2 3y2 6 0，得10x2 12mx 3m2 6 0.

6m3m2 6

x1 x2 ，x1x2 ……①

510由已知，得 (1 4)[(x1 x2)2 4x1x2] 16 ……② 把①代入②，解得

m

3

3

所以，直线l

的方程为y 2x

9、解：设点A的坐标为(x1,y1)，点B的坐标为(x2,y2)，点M的坐标为(x,y).

并设经过点M的直线l的方程为y 1 k(x 2)，即y kx 1 2k.

y2

1，得 把y kx 1 2k代入双曲线的方程x 2

2

(2 k2)x2 2k( 1k2x) 所以，x

22

(1k2 ) (2 k0 0. )……①

x1 x2k(1 2k)

2

22 kk(1 2k)

2，解得k 4 由题意，得2

2 k当k 4时，方程①成为 14x2 56x 51 0

根的判别式 562 56 51 280 0，方程①有实数解. 所以，直线l的方程为y 4x 7.

10、解：设点C的坐标为(x,y).

由已知，得 直线AC的斜率 kAC 直线BC的斜率 kBC

y

(x 5) x 5y (x 5) x 5

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