微分方程模型及差分模型
2012-3-17
Anna
微分方程模型 人口增长的预测 传染病模型 种群模型
2012-3-17
Anna
动态 模型
描述对象特征随时间(空间)的演变过程. 分析对象特征的变化规律.
预报对象特征的未来性态. 研究控制对象特征的手段.
微分 方程 建模
根据函数及其变化率之间的关系确定函数. 根据建模目的和问题分析作出简化假设. 按照内在规律或用类比法建立微分方程.
2012-3-17
Anna
微分方程模型 高等数学课程里的微分方程应用题：大多 是物理或几何方面的典型问题，假设条件 已经给出，只需用数学符号将已知规律表 示出来，即可列出方程，求解的结果就是 问题的答案，并且答案是唯一确定的. 这里讨论的动态模型：要分析具体情况或 进行类比才能给出假设条件；作出不同的 假设，就会得到不同的方程(模型);结 论也不是确定的、唯一的，求解的结果还 要用来解释实际现象并接受检验.2012-3-17 Anna 4
对微分方程的研究方法dx f t, x , f : I D R Rn Rn dt
解在很广泛的条件下存在，但能用有限解 析式表达者很少. 另辟它径： 1、求数值解(近似解); 2、定性方法分析.2012-3-17 Anna 5
微分方程平衡点问题1.微分方程的平衡点及其稳定性为了简化，一阶微分方程我们主要讨 论右端不显含自变量t 的dx f x dt
(1)
我们称代数方程 f x 0的实根 x x0为方程的 平衡点(奇点),它也是方程 1 的解。
在实际问题中，我们不仅要得到问题的解， 有时还要得到t (均指t )时问题的 解的变化趋势，如果从一定范围内的初始条 件出发，方程( 1)的解x t 都满足 :
x(t ) x0
t
则称平衡点x0是稳定的,否则是不稳定的。
实际中，判断平衡点的稳定性有两种方法： 间接方法和直接方法。 间接方法(又称定义法):先求出方程的解 x x(t ),利用定义 lim x(t ) x0来判断。t
直接方法：不用求方程的解直接研究其稳定性。 当不易由定义判别平衡点是否稳定或解不易求 出时用这种方法。 方法如下：
首先，在x0处将f x 作一阶Taylor展开， 即方程可以近似表示为 dx f x0 x x0 2 dt 易知xo是方程 2 的平衡点，则 2 的通解
为：
x t ce
f x0 t
x0
关于x0是否稳定有以下结论：
1 若f x0 0, 则平衡点x0是稳定的。 2 若f x0 0, 则平衡点x0是不稳定的。
dx f x0 x x0 常数变易，设 dt dx f ( x0 )t f x0 x x0 f x0 x C (t )e dt
dx f x0 t 对应齐次 f x0 x C t x0 f ( x0 )e dt f x0 t 1 C t x e C 0 dx f x0 dt x
ln x f x0 t ln Cx Ce f ( x0 )t
x t ce
f x0 t
x0
关于常微分方程组的平 衡点及其稳定性，也仅 讨 论右端不显含自变量 t的微分方程组： dx dt f x, y dy g x, y dt f x, y 0 代数方程组 g x, y 0P0 x0 , y0 也是方程 3 的解。
3
的实根x x0 , y y0 称为方程 3 的平衡点，记作
3 的解 如果从一定范围内的初 始条件出发，方程x t , y t 都满足：
x t x0 y t y0
t
则称平衡点p0是稳定的,否则不稳定。
下面给出判断平衡点 p0是否稳定的判别准则， 设 f p0 g p0 p y x f p0 f p0 x y q g p g p 0 0 x y
p 0或q 0 p0 是稳定的，当 则当 p 0且q 0 时， 时平衡点 p0 是不稳定的。
人口增长的预测背景年 人口(亿)
世界人口增长概况1625 1830 1930 1960 1974 1987 1999 5 10 20 30 40 50 60
中国人口增长概况年 人口(亿) 1901 1929 1953 1965 1982 1990 1995 2000 4.26 5.48 6.02 7.25 10.32 11.30 12.00 12.95
研究人口变化规律2012-3-17 Anna
控制人口过快增长14
常用的计算公式k年后人口
今年人口 x0, 年增长率 r
xk x0 (1 r )
k
指数增长模型——马尔萨斯提出 (1798)基本假设 : 人口(相对)增长率 r 是常数
x(t) ~时刻t的人口
dx rx, x(0) x0 dt
x(t t ) x(t ) r t x(t )
x(t ) x0 e
rt
x(t ) x0 (e ) x0 (1 r )r t
t
随着时间增加，人口按指数规律无限增长2012-3-17 Anna 15
美国人口统计数据年 人口 年 人口 1790 3.9 1870 38.6 1800 5.3 1880 50.2 1810 7.2 1890 62.9 1820 9.6 1900 76.0 1830 12.9 1910 92.0 1840 17.1 1920 106.5 1850 23.2 1930 123.2 1860 31.4 1940 131.7
年人口90 80 70 60 50 40 30 20 10 0 2012-3-17 1780 1800
1950150.7
1960179.3
1970204.0
1980226.5450 400 350 300 250 200 150 100 50
1990251.4
2000281.41790-2000年 指 数 增 长 模 型 拟 合 图 形
1790-1900年 指 数 增 长 模 型 拟 合 图 形
1820
1840
1860
1880
1900 Anna
0 1750
1800
1850
1900
1950
162000
百度搜索“70edu”或“70教育网”即可找到本站免费阅读全部范文。收藏本站方便下次阅读，70教育网，提供经典行业资料数学建模微分方程模型及差分模型在线全文阅读。
相关推荐：
