苏汝铿量子力学课后习题及答案chapter6

苏汝铿量子力学课后习题及答案

第六章 自旋和角动量 典型例题分析

6.1 以s, l, j表示电子的自旋，轨道角动量和总角动量，取==1。j和j2可以表示成

KKK1KKj=s+l=σ+l

2

K2K2K2KK3K2KKj=s+l+2s l=+l+σ l

4

KKKKKKKK2KKK

a) 计算[σ,σ l]，[l,σ l]，[j,σ l]，[j,l]； KKK2

b) 求σ l和j的本征值。

解题思路：此类题目重点考察各种角动量算符间的关系。所以只要运用各种算符间的对易关系就能容易的解决。 解：

KK1KKK

a) s=σ，它和l属于不同的自由度，彼此可对易，[σ,l]=0。由此知

2

KKKKKKKK

[σ,σ l]=[σxi+σyj+σzk,σxlx+σyly+σzlz]=2il×σ

利用 得

（6.1）

KKKl×l=il

（6.2）

KKKK

[lx,σ l]=σy[lx,ly]+σz[lx,lz]= i(l×σ)x

所以，

（6.3）

KKKKK[l,σ l]= i(l×σ)

由（6.1）（6.4）得，

（6.4）

KKKKKKKKK

[j,σ l]=[σ,σ l]+[l,σ l]=0

另外

（6.5）

KK2KK2KK2

[j,l]=[l,l]+[s,l]=0

b）利用公式

（6.6）

KKKKKKKKK

(σ A)(σ B)=A B+iσ (A×B)

（6.7）

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