岳阳县一中2024年高二(文科数学)期末考试试卷(学生版)(10)

这是高二文科数学期考试题

解得k＝±2. 即存在k＝±2，使NA·NB＝0. (13分)

kkk2k2

(另解: NA·NB＝(x1 )(x2 ) (y1 )(y2 ) 0)

4488

21、（本小题满分13分）已知函数f(x) x ax，g(x)

2

3

125

x lnx 22

（1）若对一切x (0, ),有不等式f(x) 2x g(x) x 5x 3恒成立，求实数a的取值范围；

12512

x g(x)，求证：G(x) x . 22exe

15

解：（１）原不等式可化为：x3 ax 2x(x2 lnx ) x2 5x 3,化简得：

22

（2）记G(x)

ax 2xlnx x2 3,

∵x 0，故上式可化为a 2lnx

33

x恒成立，即a (2lnx x)min. xx

3x2 2x 3'

记t(x) 2lnx x,(x 0),t(x) ,

xx2

令t(x) 0,∵x 0 x 1， 在（0,1）上，t(x) 0,在(1, )上，t(x) 0,

'

'

'

t(x)在（0,1）上单调递减，在(1, )上单调递增.

故当x 1时，t(x)有最小值为4，故a ( ,4] ……6分 （2）化简得G(x) lnx，原不等式可化为lnx 记F(x) xlnx，可求其最小值为F()

12x2

，即证 xlnx 成立， xxexeee

1

， e

x21

记H(x) x ，可求其最大值为H(1) ，

eee

显然x (0, ),F(x) H(x)，故原不等式成立. ……13分

1e

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