江苏省2024高考数学二轮复习专题二立体几何2.2大题考法_平行与垂(2)

2 ∥平面AEF .

(1)求证：EF ∥平面ABD ；

(2)若BD ⊥CD ，AE ⊥平面BCD ，求证：平面AEF ⊥平面ACD . 证明：(1)因为BD ∥平面AEF ，

BD ?平面BCD ，平面AEF ∩平面BCD ＝EF ，

所以 BD ∥EF .

因为BD ?平面ABD ，EF ?平面ABD ，

所以 EF ∥平面ABD .

(2)因为AE ⊥平面BCD ，CD ?平面BCD ，

所以AE ⊥CD .

因为BD ⊥CD ，BD ∥EF ，所以 CD ⊥EF ，

又AE ∩EF ＝E ，AE ?平面AEF ，EF ?平面AEF ，

所以CD ⊥平面AEF .

又CD ?平面ACD ，所以平面AEF ⊥平面ACD .

4．(2018·无锡期末)如图，ABCD 是菱形，DE ⊥平面ABCD ，AF ∥DE ，DE ＝2AF .

求证：(1)AC ⊥平面BDE ；

(2)AC ∥平面BEF .

证明：(1)因为DE ⊥平面ABCD ，AC ?平面ABCD ，所以DE ⊥AC . 因为四边形ABCD 是菱形，所以AC ⊥BD ，

因为DE ?平面BDE ，BD ?平面BDE ，且DE ∩BD ＝D ，

所以AC ⊥平面BDE .

(2)设AC ∩BD ＝O ，取BE 中点G ，连结FG ，OG ，

易知OG ∥DE 且OG ＝12

DE . 因为AF ∥DE ，DE ＝2AF ，

所以AF ∥OG 且AF ＝OG ，

从而四边形AFGO 是平行四边形，所以FG ∥AO .

因为FG ?平面BEF ，AO ?平面BEF ，

所以AO ∥平面BEF ，即AC ∥平面BEF .

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