江苏省2024高考数学二轮复习专题二立体几何2.2大题考法_平行与垂(3)

3 B 组——大题增分练

1．(2018·盐城三模)在直四棱柱ABCD ­A 1B 1C 1D 1中，已知底面ABCD 是

菱形，M ，N 分别是棱A 1D 1，D 1C 1的中点．

求证：(1)AC ∥平面DMN ；

(2)平面DMN ⊥平面BB 1D 1D .

证明：(1)连结A 1C 1，在四棱柱ABCD ­A 1B 1C 1D 1中，因为AA 1綊BB 1，BB 1

綊CC 1，所以AA 1綊CC 1，所以A 1ACC 1为平行四边形，所以A 1C 1∥AC .又M ，N 分别是棱A 1D 1，D 1C 1的中点，所以MN ∥A 1C 1，所以AC ∥MN .又AC ?平面DMN ，MN ?平面

DMN ，所以AC ∥平面DMN .

(2)因为四棱柱ABCD ­A 1B 1C 1D 1是直四棱柱，

所以DD 1⊥平面A 1B 1C 1D 1，而MN ?平面A 1B 1C 1D 1，

所以MN ⊥DD 1.

又因为棱柱的底面ABCD 是菱形，所以底面A 1B 1C 1D 1也是菱形，

所以A 1C 1⊥B 1D 1，而MN ∥A 1C 1，所以MN ⊥B 1D 1.

又MN ⊥DD 1，DD 1?平面BB 1D 1D ，B 1D 1?平面BB 1D 1D ，且DD 1∩B 1D 1＝D 1，

所以MN ⊥平面BB 1D 1D .

而MN ?平面DMN ，所以平面DMN ⊥平面BB 1D 1D .

2.如图，在四棱锥P ­ABCD 中，PA ⊥底面ABCD ，AB ∥CD ，AB ⊥BC ，

AB ＝BC ＝1，DC ＝2，点E 在PB 上．

(1)求证：平面AEC ⊥平面PAD ；

(2)当PD ∥平面AEC 时，求PE ∶EB 的值．

解：(1)证明：在平面ABCD 中，过A 作AF ⊥DC 于F ，则CF ＝DF

＝AF ＝1，

∴∠DAC ＝∠DAF ＋∠FAC ＝45°＋45°＝90°，即AC ⊥DA .

又PA ⊥平面ABCD ，AC ?平面ABCD ，∴AC ⊥PA .

∵PA ?平面PAD ，AD ?平面PAD ，且PA ∩AD ＝A ，

∴AC ⊥平面PAD .

又AC ?平面AEC ，∴平面AEC ⊥平面PAD .

(2)连结BD 交AC 于O ，连结EO .

∵PD ∥平面AEC ，PD ?平面PBD ，平面PBD ∩平面AEC ＝EO ，∴PD ∥EO ， 则PE ∶EB ＝DO ∶OB .

又△DOC ∽△BOA ，∴DO ∶OB ＝DC ∶AB ＝2∶1，

∴PE ∶EB 的值为2.

3.(2018·南通、扬州、淮安、宿迁、泰州、徐州六市二调)如图，

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