江苏省2024高考数学二轮复习专题二立体几何2.2大题考法_平行与垂(4)

4 在三棱柱ABC ­A 1B 1C 1中，已知AB ＝AC ，点E ，F 分别在棱BB 1，CC 1上(均异于端点)，且∠ABE ＝∠ACF ，AE ⊥BB 1，AF ⊥CC 1.

求证：(1)平面AEF ⊥平面BB 1C 1C ；

(2)BC ∥平面AEF .

证明：(1)在三棱柱ABC ­A 1B 1C 1中，BB 1∥CC 1.

因为AF ⊥CC 1，所以AF ⊥BB 1.

又AE ⊥BB 1，AE ∩AF ＝A ，AE ?平面AEF ，AF ?平面AEF ， 所以BB 1⊥平面AEF .

又因为BB 1?平面BB 1C 1C ，

所以平面AEF ⊥平面BB 1C 1C .

(2)因为AE ⊥BB 1，AF ⊥CC 1，∠ABE ＝∠ACF ，AB ＝AC ，

所以Rt △AEB ≌Rt △AFC .

所以BE ＝CF .

又BE ∥CF ，所以四边形BEFC 是平行四边形．

从而BC ∥EF .

又BC ?平面AEF ，EF ?平面AEF ，

所以BC ∥平面AEF .

4．(2018·常州期末)如图，四棱锥P ­ABCD 的底面ABCD 是平行四边形，PC ⊥平面ABCD ，PB ＝PD ，点Q 是棱PC 上异于P ，C 的一点．

(1)求证：BD ⊥AC ；

(2)过点Q 和AD 的平面截四棱锥得到截面ADQF (点F 在棱PB 上)，求证：QF ∥BC .

证明：(1)因为PC ⊥平面ABCD ，BD ?平面ABCD ，所以BD ⊥PC . 记AC ，BD 交于点O ，连结OP .

因为平行四边形对角线互相平分，则O 为BD 的中点．

在△PBD 中，PB ＝PD ，所以BD ⊥OP .

又PC ∩OP ＝P ，PC ?平面PAC ，OP ?平面PAC .

所以BD ⊥平面PAC ，

又AC ?平面PAC ，所以BD ⊥AC .

(2)因为四边形ABCD 是平行四边形，所以AD ∥BC .

又AD ?平面PBC ，BC ?平面PBC ，

所以AD ∥平面PBC .

又AD ?平面ADQF ，平面ADQF ∩平面PBC ＝QF ，

所以AD ∥QF ，所以QF ∥BC .

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