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1 习题答案
第1章
三、解答题
1．设P (AB ) = 0，则下列说法哪些是正确的？
(1) A 和B 不相容；
(2) A 和B 相容；
(3) AB 是不可能事件；
(4) AB 不一定是不可能事件；
(5) P (A ) = 0或P (B ) = 0
(6) P (A – B ) = P (A )
解：(4) (6)正确.
2．设A ，B 是两事件，且P (A ) = 0.6，P (B ) = 0.7，问：
(1) 在什么条件下P (AB )取到最大值，最大值是多少？
(2) 在什么条件下P (AB )取到最小值，最小值是多少？
解：因为)()()()(B A P B P A P AB P -+≤，
又因为)()(B A P B P ≤即.0)()(≤-B A P B P 所以
(1) 当)()(B A P B P =时P (AB )取到最大值，最大值是)()(A P AB P ==0.6.
(2) 1)(=B A P 时P (AB )取到最小值，最小值是P (AB )=0.6+0.7-1=0.3.
3．已知事件A ，B 满足)()(B A P AB P =，记P (A ) = p ，试求P (B )．
解：因为)()(B A P AB P =， 即)()()(1)(1)()(AB P B P A P B A P B A P AB P +--=-== ，
所以 .1)(1)(p A P B P -=-=
4．已知P (A ) = 0.7，P (A – B ) = 0.3，试求)(AB P ．
解：因为P (A – B ) = 0.3，所以P (A )– P(AB ) = 0.3, P(AB ) = P (A )– 0.3,
又因为P (A ) = 0.7，所以P(AB ) =0.7– 0.3=0.4，6.0)(1)(=-=AB P AB P .
5． 从5双不同的鞋子种任取4只，问这4只鞋子中至少有两只配成一双的概率是多少？ 解：显然总取法有4
10C n =种，以下求至少有两只配成一双的取法k ：
法一：分两种情况考虑：15C k =24C 2
12)(C +2
5C
其中：2
122415)(C C C 为恰有1双配对的方法数 法二：分两种情况考虑：!21
61815C C C k ?
?=+2
5C
2
2 其中：!216181
5C C C ??为恰有1双配对的方法数
法三：分两种情况考虑：)(142815C C C k
-=+25C 其中：)(142815C C C -为恰有1双配对的方法数
法四：先满足有1双配对再除去重复部分：2815C C k
=-25C 法五：考虑对立事件：410C k
=-45C 412)(C 其中：45C 412)(C 为没有一双配对的方法数 法六：考虑对立事件：!41416181104
10
C C C C C k ???-= 其中：!
4141618110C C C C ???为没有一双配对的方法数 所求概率为.2113410==C k p 6．在房间里有10个人，分别佩戴从1号到10号的纪念章，任取3人记录其纪念章的号码．求：
(1) 求最小号码为5的概率；
(2) 求最大号码为5的概率．
解：(1) 法一：12131025==C C p ，法二：121310
2513==A A C p (2) 法二：20
131024==C C p ，法二：2013102413==A A C p 7．将3个球随机地放入4个杯子中去，求杯子中球的最大个数分别为1，2，3的概率．
解：设M 1, M 2, M 3表示杯子中球的最大个数分别为1，2，3的事件，则
834)(3341==A M P , 1694)(324232=?=A C M P , 1614)(3143==C M P
8．设5个产品中有3个合格品，2个不合格品，从中不返回地任取2个，求取出的2个中全是合格品，仅有一个合格品和没有合格品的概率各为多少？
解：设M 2, M 1, M 0分别事件表示取出的2个球全是合格品，仅有一个合格品和没有合格品，则
3.0)(25232==C C M P ,6.0)(2512131==C C C M P ,1.0)(25221==C C M P
9．口袋中有5个白球，3个黑球，从中任取两个，求取到的两个球颜色相同的概率．
解：设M 1=“取到两个球颜色相同”，M 1=“取到两个球均为白球”，M 2=“取到两个球均为黑球”，则φ==2121M M M M M 且. 所以.28
13C C C C )()()()(282328252121=+=+==M P M P M M P M P 10． 若在区间(0，1)内任取两个数，求事件“两数之和小于6/5”的概率．
解：这是一个几何概型问题．以x 和y 表示任取两个数，在平面上建立xOy 直角坐标系，如图.
任取两个数的所有结果构成样本空间Ω = {(x ，y )：0 ≤ x ，y ≤ 1}
事件A =“两数之和小于6/5”= {(x ，y ) ∈ Ω ： x + y ≤ 6/5}
因此
3
3 25
17154211)(2
=??? ???-=Ω=的面积的面积A A P ． 图？
11．随机地向半圆220x ax y -<<（a 为常数）内掷一点，点落在半圆内任何区域的概率与区域的面积成正比，求原点和该点的连线与x 轴的夹角小于4
π的概率． 解：这是一个几何概型问题．以x 和y 表示随机地向半圆内掷一点的坐标，θ表示原点和该点的连线与x 轴的夹角，在平面上建立xOy 直角坐标系，如图.
随机地向半圆内掷一点的所有结果构成样本空间
Ω={(x ，y )：220,20x ax y a x -<<<<}
事件A =“原点和该点的连线与x 轴的夹角小于
4π” ={(x ，y )：40,20,202πθ<<-<<<<
x ax y a x }
因此 2112
14121)(222+=+=Ω=πππa a a A A P 的面积的面积．
12．已知2
1)(,31)(,41)
(===B A P A B P A P ，求)(B A P ． 解：,1213141)()()(=?==A B P A P AB P ,6121121)|()()(=÷==B A P AB P B P .3
11216141)()()()(=-+=-+=AB P B P A P B A P 13．设10件产品中有4件不合格品，从中任取两件，已知所取两件产品中有一件是不合格品，则另一件也是不合格品的概率是多少？
解：题中要求的“已知所取两件产品中有一件是不合格品，则另一件也是不合格品的概率”应理解为求“已知所取两件产品中至少有一件是不合格品，则两件均为不合格品的概率”。
设A =“所取两件产品中至少有一件是不合格品”，B=“两件均为不合格品”；
321)(1)(21026=-=-=C C A P A P ，15
2)(21024==C C B P ， 5
132/152)()()()()|(====A P B P A P AB P A B P 14．有两个箱子，第1箱子有3个白球2个红球，第2个箱子有4个白球4个红球，现从第1个箱子中随机地取1个球放到第2个箱子里，再从第2个箱子中取出一个球，此球是白球的概率是多少？已知上述从第2个箱子中取出的球是白球，则从第1个箱子中取出的球是白球的概率是多少？
解：设A =“从第1个箱子中取出的1个球是白球”，B=“从第2个箱子中取出的1个球是白球”，则
52)(,5
3)(1512===A P C C A P ，由全概率公式得
4
4 ,45
23
5253)|()()|()()(191
41915=?+?=+=C C C C A B P A P A B P A P B P
由贝叶斯公式得
.23
15
4523/53)()|()()|(191
5=?==C C B P A B P A P B A P
15．将两信息分别编码为A 和B 传递出去，接收站收到时，A 被误收作B 的概率为0.02，而B 被误收作A 的概率为0.01，信息A 与信息B 传送的频繁程度为2：1，若接收站收到的信息是A ，问原发信息是A 的概率是多少？ 解：设M =“原发信息是A ”，N =“接收到的信息是A ”， 已知
,01.0)|(,02.0)|(==M N P M N P .3
2
)(=
M P 所以
,99.0)|(,98.0)|(==M N P M N P ,3
1
)(=M P
由贝叶斯公式得
.197
196
)01.03198.032(98.032)|()()|()()|()()|(=?+?÷?=+=
M N P M P M N P M P M N P M P N M P
16．三人独立地去破译一份密码，已知各人能译出的概率分别为4
1
,31,51，问三人中至少有一人能将此密码译出的概率是多少？
解：设A i =“第i 个人能破译密码”，i=1,2,3. 已知,41)(,31)(,51)
(321===A P A P A P 所以,4
3)(,32)(,54)(321===A P A P A P 至少有一人能将此密码译出的概率为
.5
3
4332541)()()(1)(1221321=??-=-=-A P A P A P A A A P
17．设事件A 与B 相互独立，已知P (A ) = 0.4，P (A ∪B ) = 0.7，求)(A B P .
解：由于A 与B 相互独立，所以P (AB )=P (A )P (B ),且
P (A ∪B )=P (A )+ P (B ) - P (AB )= P (A )+ P (B ) - P (A )P (B )
将P (A ) = 0.4，P (A ∪B ) = 0.7代入上式解得 P (B ) = 0.5，所以
.5.05.01)(1)
()
()(1)()(1)(1)(=-=-=-=-
=-=B P A P B P A P A P AB P A B P A B P
或者,由于A 与B 相互独立,所以A 与B 相互独立，所以
.5.05.01)(1)()(=-=-==B P B P A B P
18．甲乙两人独立地对同一目标射击一次，其命中率分别为0.6和0.5，现已知目标被命中，则它是甲射中的概率是多少？ 解：设A =“甲射击目标”，B =“乙射击目标”，M =“命中目标”， 已知P (A )=P (B )=1,,5.0)(,6.0)(==B M P A M
P 所以
).()()()()(AB P B A P B A P AB B A B A P M P ++==
由于甲乙两人是独立射击目标，所以
.8.05.06.05.04.05.06.0)()()()()()()(=?+?+?=++=B P A P B P A P B P A P M P
5
5 75.08
.06.01)()|()()()()|(=?===M P A M P A P M P AM P M A P 19．某零件用两种工艺加工，第一种工艺有三道工序，各道工序出现不合格品的概率分别为0.3，0.2，0.1；第二种工艺有两道工序，各道工序出现不合格品的概率分别为0.3，0.2，试问：
(1) 用哪种工艺加工得到合格品的概率较大些？
(2) 第二种工艺两道工序出现不合格品的概率都是0.3时，情况又如何？
解：设A i =“第1种工艺的第i 道工序出现合格品”，i=1,2,3； B i =“第2种工艺的第i 道工序出现合格品”，i=1,2.
（1）根据题意，P (A 1)=0.7，P (A 2)=0.8，P (A 3)=0.9，P (B 1)=0.7,P (B 2)=0.8,
第一种工艺加工得到合格品的概率为
P (A 1A 2A 3)= P (A 1)P (A 2)P (A 3)=,504.09.08.07.0=??
第二种工艺加工得到合格品的概率为
P (B 1B 2)= P (B 1)P (B 2)=,56.08.07.0=?
可见第二种工艺加工得到合格品的概率大。
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