概率论与数理统计答案徐雅静版(2)

（2）根据题意，第一种工艺加工得到合格品的概率仍为0.504，而P (B 1)=P (B 2)=0.7,

第二种工艺加工得到合格品的概率为

P (B 1B 2)= P (B 1)P (B 2)=.49.07.07.0=?

可见第一种工艺加工得到合格品的概率大。

1．设两两相互独立的三事件A ，B 和C 满足条件ABC = ?，,21)()()

(<==C P B P A P 且已知169)(=C B A P ，求P (A )．

解：因为ABC = ?，所以P (ABC ) =0,

因为A ，B ，C 两两相互独立，),()()(C P B P A P ==所以

2)]([3)()()()()()()()()(A P C P A P C P B P B P A P AC P BC P AB P =++=++

由加法公式)()()()()()()()(ABC P AC P BC P AB P C P B P A P C B A P +---++= 得

169)]([3)(32=

-A P A P 即 0]1)(4][3)(4[=--A P A P 考虑到,21)(

1)(=A P 2．设事件A ，B ，C 的概率都是

2

1，且)()(C B A P ABC P =，证明： 21

)()()()(2-++=BC P AC P AB P ABC P ． 证明：因为)()(C B A P ABC P =，所以

)]

()()()()()()([1)(1)(ABC P AC P BC P AB P C P B P A P C B A P ABC P +---++-=-= 将2

1)()()(===C P B P A P 代入上式得到 )]()()()(2

3[1)(ABC P AC P BC P AB P ABC P +----= 整理得

.2

1)()()()(2-++=AC P BC P AB P ABC P 3．设0 < P (A ) < 1，0 < P (B ) < 1，P (A |B ) +1)|(=B A P ，试证A 与B 独立．

6

6 证明：因为P (A |B ) +1)|(=B A P ，所以

,1)

(1)(1)()()()()()(=--+=+B P B A P B P AB P B P B A P B P AB P 将)()()()(AB P B P A P B A P -+= 代入上式得

,1)

(1)()()(1)()(=-+--+B P AB P B P A P B P AB P 两边同乘非零的P (B )[1-P (B )]并整理得到

),()()(B P A P AB P =

所以A 与B 独立.

4．设A ，B 是任意两事件，其中A 的概率不等于0和1，证明)|()|

(A B P A B P =是事件A 与B 独立的充分必要条件． 证明：充分性，由于)|()|(A B P A B P =，所以,)

()()()(A P B A P A P AB P =即 ,)

(1)()()()(A P AB P B P A P AB P --= 两边同乘非零的P (A )[1-P (A )]并整理得到),()()(B P A P AB P =

所以A 与B 独立. 必要性：由于A 与B 独立，即),()()(B P A P AB P =且,0)(,0)(≠≠A P A P 所以

一方面 ),()()()()()()|(B P A P B P A P A P AB P A B P ===

另一方面

),()()()()()()()()()()|(B P A P B P A P B P A P AB P B P A P B A P A B P =-=-==

所以).|()|(A B P A B P =

5．一学生接连参加同一课程的两次考试．第一次及格的概率为p ，若第一次及格则第二次及格的概率也为p ；若第一次不及格则第二次及格的概率为2p .

(1) 若至少有一次及格则他能取得某种资格，求他取得该资格的概率．

(2) 若已知他第二次及格了，求他第第一次及格的概率．

解：设A i =“第i 次及格”，i=1，2.已知,2

)|(,)|(,)

(12121p A A P p A A P p A P === 由全概率公式得 2)

1()|()()|()()(21211212p p p A A P A P A A P A P A P -+=+= (1) 他取得该资格的概率为

.232)1(),

|()()()()()()()(22212121212121p p p p p p p A A P A P A P A P A A P A P A P A A P -=--++=-+=-+=

(2) 若已知他第二次及格了，他第一次及格的概率为

.122)1()()|()()()()|(2212122121+=-+?===

p p p p p p p A P A A P A P A P A A P A A P

7

7 6．每箱产品有10件，其中次品从0到2是等可能的，开箱检验时，从中任取一件，如果检验为次品，则认为该箱产品为不合格而拒收．由于检验误差，一件正品被误判为次品的概率为2%，一件次品被误判为正品的概率为10%．求检验一箱产品能通过验收的概率．

解：设A i =“一箱产品有i 件次品”，i=0，1，2.设M=“一件产品为正品”，N=“一件产品被检验为正品”. 已知,3

1)()()(210===

A P A P A P ,1.0)|(,02.0)|(==M N P M N P 由全概率公式 ,10

9)1081091(31)|()()|()()|()()(221100=++=++=A M P A P A M P A P A M P A P M P ,10

11091)(1)(=-=-=M P M P 又,98.002.01)|(1)|(=-=-=M N P M N P 由全概率公式得一箱产品能通过验收的概率为

.892.01.010

198.0109)|()()|()()(=?+?=+=M N P M P M N P M P N P 7．用一种检验法检验产品中是否含有某种杂质的效果如下．若真含有杂质检验结果为含有的概率为0.8；若真含不有杂质检验结果为不含有的概率为0.9；据以往的资料知一产品真含有杂质或真不含有杂质的概率分别为0.4和0.6．今独立地对一产品进行三次检验，结果是两次检验认为含有杂质，而有一次认为不含有杂质，求此产品真含有杂质的概率．

解：A =“一产品真含有杂质”，B i =“对一产品进行第i 次检验认为含有杂质”，i=1,2,3.

已知独立进行的三次检验中两次认为含有杂质，一次认为不含有杂质，不妨假设前两次检验认为含有杂质，第三次认为检验不含有杂质，即B 1，B 2发生了，而B 3未发生. 又知,9.0)|(,8.0)|(==A B P A B P i i ,4.0)(=A P 所以

,1.0)|(,2.0)|(==A B P A B P i i ,6.0)(,4.0)(==A P A P 所求概率为,)

|()()|()()|()()()()|(321321321321321321A B B B P A P A B B B P A P A B B B P A P B B B P B B AB P B B B A P +== 由于三次检验是独立进行的，所以

.905.09.01.01.06.02.08.08.04.02.08.08.04.0)|()|()|()()|()|()|()()|()|()|()()|(321321321321=???+??????=+=

A B P A B P A B P A P A B P A B P A B P A P A B P A B P A B P A P B B B A P

8．火炮与坦克对战，假设坦克与火炮依次发射，且由火炮先射击，并允许火炮与坦克各发射2发，已知火炮与坦克每次发射的命中概率不变，它们分别等于0.3和0.35.我们规定只要命中就被击毁．试问

(1) 火炮与坦克被击毁的概率各等于多少？

(2) 都不被击毁的概率等于多少？

解：设A i =“第i 次射击目标被击毁”，i=1,2,3,4.

已知,3.0)()(31==A P A P ,35.0)()(42==A P A P 所以

,7.0)()(31==A P A P ,65.0)()(42==A P A P

(1) 火炮被击毁的概率为

356475

.035.07.065.07.035.07.0)()()()()()()

()()(432121432121432121=???+?=+=+=A P A P A P A P A P A P A A A A P A A P A A A A A A P

坦克被击毁的概率为 4365

.03.065.07.03.0)()()()()

()()(321132113211=??+=+=+=A P A P A P A P A A A P A P A A A A P

8

8 (2) 都不被击毁的概率为

.207025.065.07.065.07.0)()()()()(43214321=???==A P A P A P A P A A A A P

9．甲、乙、丙三人进行比赛，规定每局两个人比赛，胜者与第三人比赛，依次循环，直至有一人连胜两次为止，此人即为冠军，而每次比赛双方取胜的概率都是2

1，现假定甲乙两人先比，试求各人得冠军的概率． 解：A i =“甲第i 局获胜”， B i =“乙第i 局获胜”，B i =“丙第i 局获胜”，i=1,2,….， 已知,...2,1,2

1)()()(====i C P B P A P i i i ，由于各局比赛具有独立性，所以 在甲乙先比赛，且甲先胜第一局时，丙获胜的概率为 ,71...212121...)(963987654321654321321=+??

? ??+??? ??+??? ??= C C A B C A B C A C C A B C A C C A P 同样，在甲乙先比赛，且乙先胜第一局时，丙获胜的概率也为

,71 丙得冠军的概率为,7

2712=?甲、乙得冠军的概率均为.145)721(21=- 第二章

2

一、填空题：

1.

{}x X P ≤，)()(12x F x F - 2.

==}{k X P k n k k n p p C --)1(，k = 0，1，…，n 3. 0,!}{>==-λλλe k k X P k

为参数，k = 0，1，… 4. λ

+11 5. ?????<<-=其它

,0 ,1)(b x a a b x f 6. +∞<<-∞=--x e x f x ,21

)(22

2)(σμσπ 7. +∞<<-∞=-x e x x ,21)(22π

? 8. )()(σ

μσμ-Φ--Φa b 9.

10. 64

9

9

9 分析：每次观察下基本结果“X ≤1/2”出现的概率为

4

12)(21021-==??∞xdx dx x f ，而本题对随机变量X 取值的观察可看作是3重伯努利实验，所以 {}649)411()41(223223=-==-C Y P 11. {}7257.0)212.2(212.2212.2=-Φ=?

?????-<-=

8950.01)3.1()4.2()3.1()4.2()216.1()218.5(218.521216.15.86.1=-Φ+Φ=-Φ-Φ=--Φ--Φ=?

?????-<-<--=<<-X P X P 同理，P {| X | ≤ 3.5} =0.8822.

12.

{})31(3113)(-=??????-≤=≤+==y F y X P y X Y P y G . 13. 48

13，利用全概率公式来求解： {}{}{}{}{}

{}{}{}{}.4813414141314121410 442332 2221122=?+?+?+?

====+===+===+=====X P X Y P X P X Y P X P X Y P X P X Y P Y P 二、单项选择题：

1. B ，由概率密度是偶函数即关于纵轴对称，容易推导

F (-a)=dx x f dx x f dx x f dx x f dx x f a a

?????-===∞--∞-00a -0a

-0)(21)(-21)(-)()( 2. B ，只有B 的结果满足1)(lim )(==+∞+∞→x F F x

3. C ，根据分布函数和概率密度的性质容易验证

4. D ，?

??<≥=2,2,2X X X Y ，可以看出Y 不超过2，所以 {}{}0,2,12 ,12,12 ,12,2 ,1)(0>?????<-≥=?????<≥=???<≤≥=≤=--?θθ

θ?y e y y dx e y y y X P y y Y P y F y x y Y ， 可以看出，分布函数只有一个间断点.

5. C, 事件的概率可看作为事件A （前三次独立重复射击命中一次）与事件B （第四次命中）同时发生的概率，即 p p p C B P A P AB P p ?-===-2313)1()()()(.

三、解答题

（A ）

1．(1)

10

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