概率论与数理统计答案徐雅静版(3)

10 分析：这里的概率均为古典概型下的概率，所有可能性结果共36种，如果X=1，则表明两次中至少有一点数为1，其余一个1

至6点均可，共有1-612

?C （这里12C 指任选某次点数为1，6为另一次有6种结果均可取，减1即减去两次均为1的情形，因为61

2?C 多算了一次）或1512+?C 种，故{}36113615361-611212=+?=?==C C X P ,其他结果类似可

得.

(2)

???????????≥<≤=+=+=+=+=<≤=+=+=+=<≤=+=+=<≤=+=<≤=<=6

165}5{}4{}3{}2{}1{54 }4{}3{}2{}1{43 }3{}2{}1{32}2{}1{21}1{1 0 )(x x X P X P X P X P X P x X P X P X P X P x X P X P X P x X P X P x X P x x F ，，，，，，，

?????????????????≥<≤<≤<≤<≤<≤<=6 165363554 363243 36

273236202136111 0 x x x x x x x ，

，，

，，，，

2．

注意，这里X 指的是赢钱数，X 取0-1或100-1，显然{}1261299510

===C X P

. 3．1!0

==-∞=∑λλae k a k k

，所以λ-

=e a . 4．(1) ????

?????≥<≤<≤-<=???????≥<≤=+-=<≤--=<=3x 132432141-1x 03x 132}2{}1{21}1{-1x 0)(，，，，，，，，x x x X P X P x X P x f ，

11

11 (2) {}41

121=-==???

???≤X p X P 、 {}21

22523

===???

???≤

{}{}{}{}{}{}43

323232==+=====≤≤X P X P X X P X P ；

5．(1) {}3

1

21121121lim 212121222242=???

??

?

??-??? ??-=++++==∞→i i i X P 偶数，

(2) {}{}161

16151415=-=≤-=≥X P X P ，

(3) {}71

21121121lim 2133

3313=-????

??

??

??? ??-===∞→∞=∑i i i i X P 的倍数.

6．(1) ()()5.15.0~P t P X = {}5.10-==e X P .

(2) 5.25.0=t {}{}5.21011--==-=≥e x P x P .

7．解：设射击的次数为X ，由题意知().20400~，B X

{}{}k

k k k C X P X P -=∑-=≤-=≥400

1040098.002.011129972.028.01!818

10=-=-≈-=∑e k k K

，其中8=400×0.02.

8．解：设X 为事件A 在5次独立重复实验中出现的次数，().305~，B X

则指示灯发出信号的概率

{}{})7.03.07.03.07.03.0(1313322

5411

55005C C C X P X P p ++-=<-=≥=

1631.08369.01=-=；

9. 解：因为X 服从参数为5的指数分布，则51)(x

e x F --=，{}2)10(110-=-=>e F X P ，()

25~-e B Y ， 则50,1,k ,)1()(}{522

5 =-==---k k k e e C k Y P

0.516711}0{-1}1{52=--===≥-）（e Y P Y P

10. (1)、由归一性知：??-∞+∞-===222cos )(1π

πa xdx a dx x f ，所以21

=

a .

(2)、42

|sin 21

cos 21}40{4

04

0===<

π

πx xdx X P .

11. 解 （1）由F (x )在x =1的连续性可得)1()(lim )(lim 11F x F x F x x ==-→+→，即A=1.

（2）{}=<<7.03.0X P 4.0)3.0()7.0(=-F F .

（3）X 的概率密度???<<='=

,010,2)()(x x x F x f .

12

12 12. 解 因为X 服从（0，5）上的均匀分布，所以??

???<<=其他05051)(x x f

若方程024422=+++X Xx x

有实根，则03216)4(2≥--=?X X ，即

12-≤≥X X ，所以有实根的概率为 {}{}5

3510511252152==+=-≤+≥=??-∞-x dx dx X P X P p 13. 解: (1) 因为4)(3~，N X 所以

)2()5(}52{F F X P -=≤< 5328.016915.08413.01)5.0()1(=-+=-Φ-Φ=

{})4()10(104--=≤<-F F X P

996.01998.021)5.3(21)5.3()5.3(=-?=-Φ=--Φ-Φ=

{}{}212≤-=>X P X P {}221≤≤--=X P

[])2()2(1---=F F [])5.2()5.0(1-Φ--Φ-=

[])5.0()5.2(1Φ-Φ-=3023.01-=6977.0= {}{}313≤-=>X P X P )3(1F -=)0(1Φ-=5.01-=5.0=

(2) {}{}c X P c X P ≤-=>1，则{}21=≤c X P 2

1)23()(=-Φ==c c F ，经查表得 21)0(=Φ，即02

3=-c ，得3=c ；由概率密度关于x=3对称也容易看出。 (3) {}{}d X P d X P ≤-=>1)(1d F -=9.0)2

3(1≥-Φ-=d ， 则1.0)23(≤-Φd ，即9.0)2

3-(≥-Φd ，经查表知8997.0)28.1(=Φ， 故28.12

3-≥-d ，即44.0≤d ； 14. 解：{}{}k X P k X P ≤-=>1{}k X k P ≤≤--=1)()(1σ

σk k -Φ+Φ-= )(22σ

k Φ-=1.0= 所以

95.0)(=Φσk ，}{95.0)()(=Φ==<σk k F k X p ；由对称性更容易解出； 15. 解 ),(~2σμN X 则 {}}{σ

μσμσμ+<<-=<-X P X P

)()(σμσμ--+=F F

)()(σμσμσμσμ--Φ--+Φ= )1()1(-Φ-Φ=

13

13 0.68261)1(2=-Φ=

上面结果与σ无关，即无论σ怎样改变，{}σμ<-X P 都不会改变；

16. 解：由X 的分布律知

所以 Y 的分布律是

Z 的分布律为

222)(21)(σμσπ--=x e x f ， 17. 解 因为服从正态分布),(2σμN ，所以则dx e x F x x ?∞---

=22

2)(21)(σμσπ ，{}y e p y F x Y ≤=)(，

当0≤y 时，0)(=y F Y ，则0)(=y f Y

当0>y 时，{}{}y x p y e p y F x Y ln )(≤=≤=

2

2

2)(ln '21

1))(ln ()()(σμσ

π--

='==y Y Y y y F y F y f e

所以Y 的概率密度为0

e 2101)(22

2)(ln ≤>???

??=--y y y y f y Y σμσπ；

18. 解)1

,0(~U X ，

1

001)(<

-=≤=1)()1(1y F --=，

14

14 所以?

??<<=???<-<=-=其他其他)1()(0,101,0,1101,y y y f y f X Y 19. 解：)2,1(~U X ，则

其他2101)(<

e P y Y P y F X Y ≤=≤=2)( 当0≤y 时，{}0)(2=≤=y e P y F X Y

， 当0>y 时，

)(y F Y )ln 21(ln 21y F y X P X =?

?????≤=， 其他其他4242'0

21)ln 21(0

21))ln 21(()()(e x e y e x e y f y F y F y f X Y Y <

20. 解: (1) {}{}y X P y Y P y F Y ≤=≤=3)(11??????≤=y X P 31)31(y F X = )3

1(31))31(()()('11y f y F y F y f X Y Y ='== 因为其他110

23)(2<<-?????=x x x f X 所以)31(31)(1y f y f X Y =其他,1311,01812<<-?????=y y 其他,33,0

1812<<-?????=y y (2) {}{}{})3(133)(22y F y X P y X P y Y P y F X Y --=-≥=≤-=≤=，

)3()]3(1[)()(''22y f y F x F y f X X Y Y -=--== 因为其他

11023)(2<<-?????=x x x f X ， 所以)3()(2y f y f X Y -=?????<-<--=其他0,131,)3(232y y ?????<<-=其他

0,42,)3(232y y

（3）{}{}y X P y Y P y F Y ≤=≤=23)(3 当0≤y 时，{}0)(23=≤=y X P y F Y

，0)()('33==x F y f Y Y 当0>y 时，{}())()(3y F y F y X y P y F X X

Y --=≤≤-=， ()())]([21)]([)()(''33y f y f y y F y F x F y f X X Y Y -+=--==

15

15 所以 ()0,0,0)]([21)(3≤>??

???-+=y y y f y f y y f X X Y ， 因为其他

11023)(2<<-?????=x x x f X ， 所以其他,10,0

23)(3<

().20,10~ B X 设至少要有k 条电话线路才能使用户再用电话时能接通的概率为0.99，则

99.0!8.02.0}{001010=≈=≤∑∑=-=-k i i k i i i

i

e i C k X P λλ，其中,2=λ

查表得k=5.

2．解：该问题可以看作为10重伯努利试验，每次试验下经过5个小时后组件不能正常工作这一基本结果的概率为1-4.0-e

，记

X 为10块组件中不能正常工作的个数，则 )1,10(~4.0--e B X ，

5小时后系统不能正常工作，即{}2≥X ，其概率为

{}{}

.

8916.0 )()1()()1(1 1121104.014.0110104.004.0010=----=≤-=≥-----e e C e e C X P X P

3．解：因为)40,20(~2N X ，所以

)30()30(}3030{}30{--=≤≤-=≤F F X P X P

31

49.01

8944.05187.01)25.1()25.0()40

2030()402030(

=-+=-Φ+Φ=--Φ--Φ=

设Y 表示三次测量中误差绝对值不超过30米的次数，则)4931.0,3(~B X ， (1) 8698.00.5069-1)4931.01(4931.01}0{1}1{33003==--==-=≥C Y P Y P .

(2)

3801.05069.04931.0}1{2113=?==C Y P .

4．解： 当0

当20<≤y 时，Y 和X 同分布,服从参数为5的指数分布，知505151)

(y y

x e dx e y F ---==?， 当2≥y 时，}{y Y ≤为必然事件,知1)(=y F ，

因此，Y 的分布函数为

16

16 ???

????≥<≤<=-2,120e -10 , 0)(5y y y y F y ，；

5．解：(1) 挑选成功的概率70

1148==C p ； (2) 设10随机挑选成功的次数为X ，则该

??? ??70110~，B X ， 设10随机挑选成功三次的概率为：

0.00036)70

11()701(}3{7310≈-==k C X P ， 以上概率为随机挑选下的概率，远远小于该人成功的概率3/10=0.3，因此，可以断定他确有区分能力。

（B ） 1. 解：由概率密度可得分布函数???????????>≤≤-+<<≤≤<=6

,163),3(923131,3

11

0,310,0)(x x x x x x x x F

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