概率论与数理统计答案徐雅静版(4)

{}32=≥k X P 由于，即3

1)(=k F ，易知31≤≤k ； 2. 解： X 服从）

（2,1-的均匀分布，其他，，21031)(<<-?????=x x f ，又,,0011<≥???-=X X Y ，， 则{}3

231)(}0{12

020===≥==?x dx x f X P Y P ， 31}0{-1}0{}1{=

≥=<=-=X P X P Y P 所以Y 的分布律为

3. 解：])1[(1})1({]1[)(333y F y X P y X P y F X Y --=-≥=≤-=，

[]{}[][][]

3233'3)1()1(3)1()1(])1[(1)()(y f y y y f y F y F y f X X Y Y --='---=--='=[]

R y y y ∈-+-=,)1(1)1(362

π； 4. 证明：因)(x f x 是偶函数，故)()(x f x f x x =-，

17

17

}{1}{}{}{)(y X P y X P y X P y Y P y F Y -≤-=-≥=≤-=≤=)

(1y F x --=所以

)()()()('

y f y f y F y f x x Y Y =-==.

5. 解：随机变量X 的分布函数为

??

?

??≥<<≤=8 ,181 ,1-1

, 0)(3x x x x x F ，显然]1,0[)(∈x F ，

})({}{)(y X F P y Y P y F Y ≤=≤=，

当0

当10<≤y 时，y y X P y X P y F Y =+≤=≤-=})1({}1{)(33，

当

1≥y 时，})({y X F ≤是必然事件，知1)(=y F Y ，

即

??

?

??≥<≤<=1 ,110 ,0 , 0)(y y y y y F Y 。

6. （1）}2

1

-{}12{}{)(11

y X P y X P y Y P y F Y

≤=≤+=≤= 当

02

1

≤-y 时，即1≤y 时，00}21-{)(21

-1==≤

=?-∞dx y X P y F y Y ， 当02

1

>-y 时，即y >1时，2

121

0-1}21-{)(1y

y x Y e dx e y X P y F ---==≤

=?，

所以

其他，，

11

,021)(211>?????≤=-

y y e y f y

Y ；

（2）}{}{)(22

y e P y Y P y F X

Y ≤=≤=， 当

0≤y 时，}{y e X ≤为不可能事件，则0}{)(2=≤=y e P y F X Y ，

当10≤

∞

-dx y X P y e P y F y X

Y ，

当

1>y 时，0ln >y ，则{}y

dx e y X P y F y

x Y 11ln )(ln 0

2-

==≤=?-， 根据

)()(22y F y f Y Y '=得

???

??>≤=1,11 ,0)(22y y

y y f Y ；

（3）}{}{)(2

33

y X P y Y P y F Y

≤=≤=， 当0≤y 时，0}{)(23=≤=y X P y F Y ，

当

0>y 时，{

}

y

y

x Y e dx e y X y P y X P y F -

--==≤

≤-=≤=?1}{)(0

23，

18

18 所以 ??

???>≤=-0,20 ,0)(3y y e y y f y Y ； 7. (1) 证明：由题意知00,,0

2)(2≤>???=-x x e x f x 。 }{}{21211

y e P y Y P y F e Y X Y x ≤=≤==--）（，， 当0≤y 时，01=）（y F Y 即01

=）（y f Y ， 当10<< y 时，y dx e y X P y e P y F y x X Y ==??????-≥=≤=?∞+---2ln 2222ln }{)(1， 当1≥y 时，122ln )(021==????

??-≥=?∞+-dx e y X P y F x Y ， 故有

10,,01)(1<

??=y y f Y ，可以看出1Y 服从区间（0，1）均匀分布； （2） }-1{}-1{}{)(2212222y e P y e P y Y P y F e Y X X Y x ≥=≤=≤==---，

当01≤-y 时，1}-1{)(22=≥=-y e P y F x Y ， 当110<-

y dx e y X P y e P y F y x X Y ==??????--≤=≥=?----2)1ln(02222)1ln(}-1{)(2

）（， 当11≥-y 时，002)1ln(}-1{)(2)1ln(22==??????--≤=≥=?--∞--dx y X P y e P y F y X Y ， 由以上结果，易知

10,

,01)(2<

1解：(X ,Y )取到的所有可能值为(1,1),(1,2),(2,1)由乘法公式： P {X =1,Y =1}=P {X =1}P {Y =1|X =1|=2/3?1/2=/3 同理可求得P {X =1,Y =1}=1/3; P {X =2,Y =1}=1/3 (X ,Y )的分布律用表格表示如下：

2 解：X ，Y 所有可能取到的值是0, 1, 2

19

19 (1) P {X=i , Y =j }=P{X =i }P{Y =j |X =i

|= , i ,j =0,1,2, i +j ≤2 或者用表格表示如下：

(2)P{(X,Y)∈A}=P{X+Y ≤1}=P{X=0, Y=0}+P{X=1,Y=0}+P{X=0,Y=0}=9/14 3 解：P(A)=1/4, 由P(B|A)=2/14/1)

()()(==AB P A P AB P 得P(AB)=1/8

由P(A|B)=2/1)()(=B P AB P 得P(B)=1/4

(X,Y)取到的所有可能数对为(0,0),(1,0),(0,1),(1,1),则

P{X=0,Y=0}=))

(B A P =P( (A)-P(B)+P(AB)=5/8 P{X=0,Y=1}=P(B)=P(B-A)=P(B)-P(AB)=1/8

P{X=1,Y=0}=P(A )=P(A-B)=P(A)-P(AB)=1/8

P{X=1,Y=1}=P(AB)=1/8

4.解：(1)由归一性知：

1=, 故A=4

(2)P{X=Y}=0

(3)P{X

(4)

20

20 F(x,y)= 即F(x,y)=

5.解：P{X+Y ≥1}=

72

65)3(),(102121=+=????-≥+dydx xy x dxdy y x f x y x

6 解：X 的所有可能取值为0,1,2,Y 的所有可能取值为0,1,2, 3.

P{X=0,Y=0}=0.53=0.125; 、P{X=0,Y=1}=0.53=0.125

P{X=1,Y=1}=25.05.05.0212=?C , P{X=1,Y=2}=25.05.05.0212=?C P{X=2,Y=2}=0.53=0.125, P{X=2,Y=3}==0.53=0.125

X,Y 的分布律可用表格表示如下：

0.125 0.125 0 0 0.25 1

0 0.25 0.25 0 0.5 2

0 0 0.125 0.125 0.25 P .j

0.125 0.375 0.375 0.125 1 7. 解：???<<=-其它,

00,),(y x e y x f y ???<≥=??

???<≥==-+∞

-∞+∞-??0,00,0,00,),()(x x e x x dy e dy y x f x f x x y X ???<≥=?????<≥==--∞+∞-??0

,00,0,00,),()(0y y ye y y dx e dx y x f y f y y

y Y

21

21 8. 解：???<≤≤=0,

01,),(22x y x y cx y x f (1)214212),(1104

211122c

dx x x c ydydx cx dxdy y x f x =-===?????-∞+∞-∞+∞- 所以 c =21/4 (2) ?????<-=

?????

<==??∞

+∞-其它

其它，,01

||,8

)

1(2101||,421),()(421

22x x x x ydy x dy y x f x f x X ?????<<=?????<<==??-∞

+∞-其它

其它，,010

27010421),()(252y y

y ydx x dx y x f y f y

y Y

9 解：2|ln 12

2

11===?e

e D x dx x S

(X ,Y )在区域D 上服从均匀分布，故f (x ,y )的概率密度为

?????

∈=其它

，0),(,2

1

),(D y x y x f

?????≤≤==??∞+∞-其它

（,01,21

),()2

10X e x dy dy y x f x f x

????

?????<≤≤≤-=-===--∞+∞-???其它

（10,0),11(2121,

2121),()22

1

112X 2

y e e y y dx e dx dx y x f x f y e

10 解：???<<<<=其它

,00,10,3),(x y x x y x f )0)(( )(

)

,()|(|>=x f x f y x f x y f X X X Y ?????≤<===??∞+∞-其它

,010,233),()(20x x xdy dy y x f x f x X

当0

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