2024届高三数学人教B版(通用,理)总复习 第一章 集合

§1.1 集 合

1． 元素与集合

(1)集合中元素的两个特性：确定性、互异性．

(2)元素与集合的关系有属于和不属于两种，表示符号为∈和?. (3)集合的表示方法有列举法、描述法和维恩(Venn)图法． (4)常见集合的符号表示

A B 或B A

??A ，?B (B ≠?)

并集的性质：

A ∪?＝A ；A ∪A ＝A ；A ∪

B ＝B ∪A ；A ∪B ＝A ?B ?A . 交集的性质：

A ∩?＝?；A ∩A ＝A ；A ∩

B ＝B ∩A ；A ∩B ＝A ?A ?B . 补集的性质：

A ∪(?U A )＝U ；A ∩(?U A )＝?；?U (?U A )＝A .

1． 判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)

(1)A ＝{x |y ＝x 2＋1}＝{y |y ＝x 2＋1}＝{(x ，y )|y ＝x 2＋1}． ( × ) (2){1,2,3}＝{3,2,1}． ( √ ) (3)?＝{0}．

( × ) (4)若A ∩B ＝A ∩C ，则B ＝C .

( × ) (5)已知集合M ＝{1,2,3,4}，N ＝{2,3}，则M ∩N ＝N .

( √ ) (6)若全集U ＝{－1,0,1,2}，P ＝{x ∈Z |x 2<4}，则?U P ＝{2}． ( √ ) 2． 已知集合A ＝{－1,0,1}，B ＝{x |－1≤x <1}，则A ∩B 等于

( )

A ．{0}

B ．{－1,0}

C ．{0,1}

D ．{－1,0,1}

答案 B

解析 ∵－1,0∈B,1?B ，∴A ∩B ＝{－1,0}．

3． (2013·山东)已知集合A ＝{0,1,2}，则集合B ＝{x －y |x ∈A ，y ∈A }中元素的个数是( )

A ．1

B ．3

C ．5

D ．9

答案 C

解析 x －y ∈{}－2，－1，0，1，2.

4． (2013·课标全国Ⅱ)已知集合M ＝{x |(x －1)2<4，x ∈R }，N ＝{－1,0,1,2,3}，则M ∩N 等于

( )

A ．{0,1,2}

B ．{－1,0,1,2}

C ．{－1,0,2,3}

D ．{0,1,2,3}

答案 A

解析 化简集合M 得M ＝{x |－1

5．设集合A ＝{x |x 2＋2x －3>0}，集合B ＝{x |x 2－2ax －1≤0，a >0}．若A ∩B 中恰含有一个整

数，则实数a 的取值范围是________．

答案 ????34，43

解析 A ＝{x |x 2＋2x －3>0}＝{x |x >1或x <－3}，

因为函数y ＝f (x )＝x 2－2ax －1的对称轴为x ＝a >0，f (0)＝－1<0，

根据对称性可知要使A ∩B 中恰含有一个整数，

则这个整数为2，

所以有f (2)≤0且f (3)>0，

即????? 4－4a －1≤0，9－6a －1>0，所以??? a ≥34，a <43.

即34≤a <43

.

题型一 集合的基本概念

例1 (1)已知集合A ＝{1,2,3,4,5}，B ＝{(x ，y )|x ∈A ，y ∈A ，x －y ∈A }，则B 中所含元素的

个数为 ( )

A ．3

B ．6

C ．8

D ．10

(2)设a ，b ∈R ，集合{1，a ＋b ，a }＝????

??0，b a ，b ，则b －a ＝________. 思维启迪 解决集合问题首先要理解集合的含义，明确元素的特征，抓住集合的“两性”．

答案 (1)D (2)2

解析 (1)由x －y ∈A ，及A ＝{1,2,3,4,5}得x >y ，

当y ＝1时，x 可取2,3,4,5，有4个；

当y ＝2时，x 可取3,4,5，有3个；

当y ＝3时，x 可取4,5，有2个；

当y ＝4时，x 可取5，有1个．

故共有1＋2＋3＋4＝10(个)，选D.

(2)因为{1，a ＋b ，a }＝????

??0，b a ，b ，a ≠0， 所以a ＋b ＝0，得b a

＝－1，

所以a ＝－1，b ＝1.所以b －a ＝2.

思维升华 (1)用描述法表示集合，首先要搞清楚集合中代表元素的含义，再看元素的限制条件，明白集合的类型，是数集、点集还是其他类型集合；(2)集合中元素的互异性常常容易忽略，求解问题时要特别注意．分类讨论的思想方法常用于解决集合问题．

(1)已知集合A ＝{(x ，y )|x ，y ∈R ，且x 2＋y 2＝1}，B ＝{(x ，y )|x ，y ∈R ，且

y ＝x }，则A ∩B 的元素个数为

( )

A ．0

B ．1

C ．2

D ．3

(2)若集合A ＝{x |ax 2－3x ＋2＝0}的子集只有两个，则实数a ＝________. 答案 (1)C (2)0或9

8

解析 (1)集合A 表示的是圆心在原点的单位圆，集合B 表示的是直线y ＝x ，据此画出图象，可得图象有两个交点，即A ∩B 的元素个数为2. (2)∵集合A 的子集只有两个，∴A 中只有一个元素． 当a ＝0时，x ＝2

3

符合要求．

当a ≠0时，Δ＝(－3)2－4a ×2＝0，∴a ＝9

8.

故a ＝0或9

8

.

题型二 集合间的基本关系

例2 (1)已知集合A ＝{x |x 2－3x ＋2＝0，x ∈R }，B ＝{x |0

B 的集合

C 的个数为

( )

A ．1

B ．2

C ．3

D ．4

(2)已知集合A ＝{x |－2≤x ≤7}，B ＝{x |m ＋1

思维启迪 对于含有有限个元素的集合的子集，可按含元素的个数依次写出；B ?A 不要忽略B ＝?的情形． 答案 (1)D (2)(－∞，4]

解析 (1)用列举法表示集合A ，B ，根据集合关系求出集合C 的个数． 由x 2－3x ＋2＝0得x ＝1或x ＝2，∴A ＝{1,2}．

由题意知B ＝{1,2,3,4}，∴满足条件的C 可为{1,2}，{1,2,3}，{1,2,4}，{1,2,3,4}． (2)当B ＝?时，有m ＋1≥2m －1，则m ≤2. 当B ≠?时，若B ?A ，如图．

则????? m ＋1≥－22m －1≤7m ＋1<2m －1

，解得2

综上，m 的取值范围为m ≤4.

思维升华 (1)空集是任何集合的子集，在涉及集合关系时，必须优先考虑空集的情况，否则会造成漏解；(2)已知两个集合间的关系求参数时，关键是将条件转化为元素或区间端点间的关系，进而转化为参数所满足的关系．常用数轴、Venn 图来直观解决这类问题．

(1)设M 为非空的数集，M ?{1,2,3}，且M 中至少含有一个奇数元素，则这

样的集合M 共有

( ) A ．6个 B ．5个 C ．4个 D ．3个

(2)已知集合A ＝{x |log 2x ≤2}，B ＝(－∞，a )，若A ?B ，则实数a 的取值范围是(c ，＋∞)，其中c ＝________.

答案 (1)A (2)4

解析 (1)集合{1,2,3}的所有子集共有23＝8(个)，集合{2}的所有子集共有2个，故满足要求的集合M 共有8－2＝6(个)．

(2)由log 2x ≤2，得0

即A ＝{x |0

而B ＝(－∞，a )，

由于A ?B ，如图所示，则a >4，即c ＝4.

题型三 集合的基本运算

例3 (1)(2013·湖北)已知全集为R ，集合A ＝????

??x |(12)x ≤1，B ＝{}x |x 2－6x ＋8≤0，则A ∩(?R B )等于 ( )

A ．{x |x ≤0}

B ．{x |2≤x ≤4}

C ．{x |0≤x <2或x >4}

D ．{x |0

(2)(2012·天津)已知集合A ＝{x ∈R ||x ＋2|<3}，集合B ＝{x ∈R |(x －m )(x －2)<0}，且A ∩B ＝(－1，n )，则m ＝________，n ＝________.

思维启迪 集合的运算问题可先对集合进行化简，然后结合数轴或Venn 图计算． 答案 (1)C (2)－1 1

解析 (1)A ＝{x |x ≥0}，B ＝{x |2≤x ≤4}，

∴A ∩(?R B )＝{x |x ≥0}∩{x |x >4或x <2}

＝{x |0≤x <2或x >4}．

(2)先求出集合A ，再根据集合的交集的特点求解．

A ＝{x |－5

B ＝{x |－1

B ＝{x |(x －m )(x －2)<0}，所以m ＝－1，n ＝1.

思维升华 (1)一般来讲，集合中的元素若是离散的，则用Venn 图表示；集合中的元素若是连续的实数，则用数轴表示，此时要注意端点的情况．(2)运算过程中要注意集合间的特殊关系的使用，灵活使用这些关系，会使运算简化．

(1)设集合A ＝?????

x ∈R |??????????x ＋1≥0，x －3≤0，B ＝{x ∈Z |x －2>0}，则A ∩B 等于( ) A ．{x |2

B ．{3}

C ．{2,3}

D ．{x |－1≤x <2}

(2)设U ＝R ，集合A ＝{x |x 2＋3x ＋2＝0}，B ＝{x |x 2＋(m ＋1)x ＋m ＝0}．若(?U A )∩B ＝?，则m 的值是________．

答案 (1)B (2)1或2

解析 (1)A ＝{x |－1≤x ≤3}，B ＝{x ∈Z |x >2}，

∴A ∩B ＝{x ∈Z |2

(2)A ＝{－2，－1}，由(?U A )∩B ＝?，得B ?A ，

∵方程x 2＋(m ＋1)x ＋m ＝0的判别式Δ＝(m ＋1)2－4m ＝(m －1)2≥0，∴B ≠?.

∴B ＝{－1}或B ＝{－2}或B ＝{－1，－2}．

①若B ＝{－1}，则m ＝1；

②若B ＝{－2}，则应有－(m ＋1)＝(－2)＋(－2)＝－4，且m ＝(－2)·(－2)＝4，这两式不能同时成立，∴B ≠{－2}；

③若B ＝{－1，－2}，则应有－(m ＋1)＝(－1)＋(－2)＝－3，且m ＝(－1)·(－2)＝2，由这两式得m ＝2.

经检验知m ＝1和m ＝2符合条件．

∴m ＝1或2.

题型四 集合中的新定义问题

例4 在整数集Z 中，被5除所得余数为k 的所有整数组成一个“类”，记为[k ]，即[k ]＝{5n

＋k |n ∈Z }，k ＝0,1,2,3,4.给出如下四个结论：

①2 014∈[4]；②－3∈[3]；③Z ＝[0]∪[1]∪[2]∪[3]∪[4]；④“整数a ，b 属于同一‘类’”的充要条件是“a －b ∈[0]”．

其中，正确结论的个数是

( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4

思维启迪 解答本题要充分理解[k ]的意义，然后对选项逐一验证．

答案 C

解析 因为2 014＝402×5＋4，

又因为[4]＝{5n ＋4|n ∈Z }，

所以2 014∈[4]，故①正确；

因为－3＝5×(－1)＋2，所以－3∈[2]，故②不正确；

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