2024届高三数学人教B版(通用,理)总复习 第一章 集合(3)

解析 A ＝{x |y ＝lg(x －x 2)}＝{x |x －x 2>0}＝(0,1)，

B ＝{x |x 2－cx <0，c >0}＝(0，c )，

因为A ?B ，画出数轴，如右图所示，得c ≥1.

6． 已知集合A ＝{(x ，y )|y ＝a }，B ＝{(x ，y )|y ＝b x ＋1，b >0，b ≠1}，若集合A ∩B 只有一个

真子集，则实数a 的取值范围是________．

答案 (1，＋∞)

解析 由于集合B 中的元素是指数函数y ＝b x 的图象向上平移一个单位长度后得到的函数图象上的所有点，要使集合A ∩B 只有一个真子集，那么y ＝b x ＋1(b >0，b ≠1)与y ＝a 的图象只能有一个交点，所以实数a 的取值范围是(1，＋∞)．

§1.2命题与量词、基本逻辑联结词

1．命题的概念

能够判断真假的语句叫做命题．其中判断为真的语句叫真命题，判断为假的语句叫假命题．

2．全称量词与全称命题

(1)全称量词：短语“所有”在陈述中表示所述事物的全体，逻辑中通常叫做全称量词，

并用符号“?”表示．

(2)全称命题：含有全称量词的命题．

(3)全称命题的符号表示：

形如“对M中的所有x，p(x)”的命题，用符号简记为“?x∈M，p(x)”．

3．存在量词与存在性命题

(1)存在量词：短语“有一个”或“有些”或“至少有一个”在陈述中表示所述事物的个

体或部分，逻辑中通常叫做存在量词，并用符号“?”表示．

(2)存在性命题：含有存在量词的命题．

(3)存在性命题的符号表示：

形如“存在集合M中的元素x，q(x)”的命题，用符号简记为?x∈M，q(x)．

(4)全称命题与存在性命题的否定

4. 基本逻辑联结词

(1)命题中的“且”、“或”、“非”叫做逻辑联结词．

(2)命题真值表：

1．判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)

(1)命题p∧q为假命题，则命题p、q都是假命题．(×)

(2)已知命题p：?n0∈N,2n0>1 000，则綈p：?n∈N,2n0≤1 000. (×)

(3)命题p和綈p不可能都是真命题．(√)

(4)命题“?x∈R，x2≥0”的否定是“?x∈R，x2<0”．(×)

(5)若命题p、q至少有一个是真命题，则p∨q是真命题．(√)

2．命题p：?x∈R，sin x<1；命题q：?x∈R，cos x≤－1，则下列结论是真命题的是

() A．p∧q B．(綈p)∧q

C．p∨(綈q) D．(綈p)∧(綈q)

答案 B

解析p是假命题，q是真命题，

∴綈p∧q是真命题．

3．(2013·重庆)命题“对任意x∈R，都有x2≥0”的否定为() A．对任意x∈R，都有x2<0

B．不存在x∈R，使得x2<0

C．存在x0∈R，使得x20≥0

D．存在x0∈R，使得x20<0

答案 D

解析因为“?x∈M，p(x)”的否定是“?x∈M，綈p(x)”，故“对任意x∈R，都有x2≥0”的否定是“存在x0∈R，使得x20<0”．

4．(2013·湖北)在一次跳伞训练中，甲、乙两位学员各跳一次，设命题p是“甲降落在指定范围”，q是“乙降落在指定范围”，则命题“至少有一位学员没有降落在指定范围”

可表示为()

A．(綈p)∨(綈q) B. p∨(綈q)

C．(綈p)∧(綈q) D．p∨q

答案 A

解析“至少有一位学员没有落在指定范围”＝“甲没有落在指定范围”或“乙没有落

在指定范围”＝(綈p )∨(綈q )．

5． 若命题“?x ∈R ，x 2－mx －m <0”是假命题，则实数m 的取值范围是________．

答案 [－4,0]

解析 “?x ∈R ，x 2－mx －m <0”是假命题，则“?x ∈R ，x 2－mx －m ≥0”是真命题，即Δ＝m 2＋4m ≤0，

∴－4≤m ≤

0.

题型一 含有逻辑联结词命题的真假判断

例1 命题p ：将函数y ＝sin 2x 的图象向右平移π3

个单位得到函数y ＝sin ????2x －π3的图象；命题q ：函数y ＝sin ????x ＋π6cos ???

?π3－x 的最小正周期为π，则命题“p ∨q ”“p ∧q ”“綈p ”为真命题的个数是 ( )

A ．1

B ．2

C ．3

D ．0

思维启迪 先判断命题p 、q 的真假，然后利用真值表判断p ∨q 、p ∧q 、綈p 的真假． 答案 B

解析 函数y ＝sin 2x 的图象向右平移π3

个单位后， 所得函数为y ＝sin ????2????x －π3＝sin ?

???2x －2π3， ∴命题p 是假命题．

又y ＝sin ????x ＋π6cos ???

?π3－x ＝sin ????x ＋π6cos ???

?π2－????x ＋π6 ＝sin 2????x ＋π6＝12－12cos ?

???2x ＋π3， ∴其最小正周期为T ＝2π2

＝π， ∴命题q 是真命题．

由此，可判断命题“p ∨q ”为真，“p ∧q ”为假，“綈p ”为真．

思维升华 “p ∨q ”“p ∧q ”“綈p ”形式命题真假的判断步骤：

(1)确定命题的构成形式；

(2)判断其中命题p 、q 的真假；

(3)确定“p ∧q ”“p ∨q ”“綈p ”形式命题的真假．

若命题p ：函数y ＝x 2－2x 的单调递增区间是[1，＋∞)，命题q ：函数y ＝x

－1x

的单调递增区间是[1，＋∞)，则 ( ) A ．p ∧q 是真命题

B ．p ∨q 是假命题

C ．綈p 是真命题

D ．綈q 是真命题

答案 D

解析 因为函数y ＝x 2－2x 的单调递增区间是[1，＋∞)，

所以p 是真命题；

因为函数y ＝x －1x

的单调递增区间是(－∞，0)和(0，＋∞)， 所以q 是假命题．

所以p ∧q 为假命题，p ∨q 为真命题，綈p 为假命题，綈q 为真命题，故选D. 题型二 含有一个量词的命题的否定

例2 写出下列命题的否定，并判断其真假：

(1)p ：?x ∈R ，x 2－x ＋14

≥0； (2)q ：所有的正方形都是矩形；

(3)r ：?x 0∈R ，x 20＋2x 0＋2≤0；

(4)s ：至少有一个实数x 0，使x 30＋1＝0.

思维启迪 否定量词，否定结论，写出命题的否定；判断命题的真假．

解 (1)綈p ：?x 0∈R ，x 20－x 0＋14

<0，假命题． (2)綈q ：至少存在一个正方形不是矩形，假命题．

(3)綈r ：?x ∈R ，x 2＋2x ＋2>0，真命题．

(4)綈s ：?x ∈R ，x 3＋1≠0，假命题．

思维升华 (1)含一个量词的命题的否定方法

①找到命题所含的量词，没有量词的要结合命题的含义加上量词，再进行否定． ②对原命题的结论进行否定．

(2)判定全称命题“?x ∈M ，p (x )”是真命题，需要对集合M 中的每个元素x ，证明p (x )成立；要判断存在性命题是真命题，只要在限定集合内至少能找到一个x ＝x 0，使p (x 0)成立．

(1)已知命题p ：?x 1，x 2∈R ，(f (x 2)－f (x 1))·(x 2－x 1)≥0，则綈p 是( )

A ．?x 1，x 2∈R ，(f (x 2)－f (x 1))(x 2－x 1)≤0

B ．?x 1，x 2∈R ，(f (x 2)－f (x 1))(x 2－x 1)≤0

C ．?x 1，x 2∈R ，(f (x 2)－f (x 1))(x 2－x 1)<0

D ．?x 1，x 2∈R ，(f (x 2)－f (x 1))(x 2－x 1)<0

(2)命题“存在实数x ，使x >1”的否定．．

是 ( ) A ．对任意实数x ，都有x >1

B ．不存在实数x ，使x ≤1

C ．对任意实数x ，都有x ≤1

D ．存在实数x ，使x ≤1

答案 (1)C (2)C

解析 (1)綈p ：?x 1，x 2∈R ，(f (x 2)－f (x 1))(x 2－x 1)<0.

(2)利用存在性命题的否定是全称命题求解．

“存在实数x ，使x >1”的否定是“对任意实数x ，都有x ≤1”．故选C.

题型三 逻辑联结词与命题真假的应用

例3 (1)已知p ：?x ∈R ，mx 2＋1≤0，q ：?x ∈R ，x 2＋mx ＋1>0，若p ∨q 为假命题，则实

数m 的取值范围为

( ) A ．m ≥2

B ．m ≤－2

C ．m ≤－2或m ≥2

D ．－2≤m ≤2 (2)已知命题p ：“?x ∈[0,1]，a ≥e x ”；命题q ：“?x ∈R ，使得x 2＋4x ＋a ＝0”．若命题“p ∧q ”是真命题，则实数a 的取值范围是__________．

思维启迪 利用含逻辑联结词命题的真假求参数范围问题，可先求出各命题为真时参数的范围，再利用逻辑联结词的含义求参数范围．

答案 (1)A (2)[e,4]

解析 (1)依题意知，p ，q 均为假命题．当p 是假命题时，mx 2＋1>0恒成立，则有m ≥0；当q 是假命题时，则有Δ＝m 2－4≥0，m ≤－2或m ≥2.因此由p ，q 均为假命题得?????

m ≥0m ≤－2或m ≥2，即m ≥2. (2)若命题“p ∧q ”是真命题，那么命题p ，q 都是真命题．由?x ∈[0,1]，a ≥e x, 得a ≥e ；由?x ∈R ，使x 2＋4x ＋a ＝0，知Δ＝16－4a ≥0，a ≤4，因此e ≤a ≤4.

思维升华 以命题真假为依据求参数的取值范围时，首先要对两个简单命题进行化简，然后依据“p ∧q ”“p ∨q ”“綈p ”形式命题的真假，列出含有参数的不等式(组)求解即可．

(1)已知命题p ：“?x ∈[1,2]，x 2－a ≥0”，命题q ：“?x ∈R ，使x 2＋2ax

＋2－a ＝0”，若命题“p 且q ”是真命题，则实数a 的取值范围是

( )

A ．{a |a ≤－2或a ＝1}

B ．{a |a ≥1}

C ．{a |a ≤－2或1≤a ≤2}

D ．{a |－2≤a ≤1} (2)命题“?x ∈R,2x 2－3ax ＋9<0”为假命题，则实数a 的取值范围为________．

答案 (1)A (2)[－22，22]

解析 (1)由题意知，p ：a ≤1，q ：a ≤－2或a ≥1，

∵“p 且q ”为真命题，∴p 、q 均为真命题，∴a ≤－2或a ＝1.

(2)因题中的命题为假命题，则它的否定“?x ∈R,2x 2－3ax ＋9≥0”为真命题，也就是常见的“恒成立”问题，因此只需Δ＝9a 2－4×2×9≤0，即－22≤a ≤2 2.

借助逻辑联结词求解参数范围

典例：(12分)已知c >0，且c ≠1，设p ：函数y ＝c x 在R 上单调递减；q ：函数f (x )＝x 2－2cx

＋1在????12，＋∞上为增函数，若“p 且q ”为假，“p 或q ”为真，求实数c 的取值范围．

思维启迪 (1)p 、q 都为真时，分别求出相应的a 的取值范围；(2)用补集的思想，求出綈p 、綈q 分别对应的a 的取值范围；(3)根据“p 且q ”为假、“p 或q ”为真，确定p 、q 的真假．

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