2024届高三数学人教B版(通用,理)总复习 第一章 集合(2)

因为所有的整数Z 除以5可得的余数为0,1,2,3,4，所以③正确；

若a ，b 属于同一“类”，则有a ＝5n 1＋k ，b ＝5n 2＋k ，

所以a －b ＝5(n 1－n 2)∈[0]，

反过来，如果a －b ∈[0]，

也可以得到a ，b 属于同一“类”，故④正确．

故有3个结论正确．

思维升华 解决以集合为背景的新定义问题，要抓住两点：(1)紧扣新定义．首先分析新定义的特点，把新定义所叙述的问题的本质弄清楚，并能够应用到具体的解题过程之中，这是破解新定义型集合问题难点的关键所在；(2)用好集合的性质．解题时要善于从试题中发现可以使用集合性质的一些因素，在关键之处用好集合的运算与性质．

设U 为全集，对集合X ，Y ，定义运算“”，满足X Y ＝(?U X )∪Y ，则对

于任意集合X ，Y ，Z ，X (Y Z )等于

( )

A ．(X ∪Y )∪(?U Z )

B ．(X ∩Y )∪(?U Z )

C ．[(?U X )∪(?U Y )]∩Z

D ．(?U X )∪(?U Y )∪Z

答案 D

解析 因为X Y ＝(?U X )∪Y ，所以Y Z ＝(?U Y )∪Z ，

所以X (Y Z )＝(?U X )∪(Y Z )＝(?U X )∪(?U Y )∪Z ，故选D.

遗忘空集致误

典例：(5分)若集合P ＝{x |x 2＋x －6＝0}，S ＝{x |ax ＋1＝0}，且S ?P ，则由a 的可取值组成

的集合为__________．

易错分析 从集合的关系看，S ?P ，则S ＝?或S ≠?，易遗忘S ＝?的情况．

解析 P ＝{－3,2}．当a ＝0时，S ＝?，满足S ?P ；

当a ≠0时，方程ax ＋1＝0的解集为x ＝－1a ，

为满足S ?P 可使－1a ＝－3或－1a

＝2， 即a ＝13或a ＝－12.故所求集合为????

??0，13，－12. 答案 ????

??0，13，－12 温馨提醒 (1)根据集合间的关系求参数是高考的一个重点内容．解答此类问题的关键是抓住集合间的关系以及集合元素的特征．(2)在解答本题时，存在两个典型错误：一是忽

略对空集的讨论，如a ＝0时，S ＝?；二是忽略对字母的讨论，如－1a

可以为－3或2.因此，在解答此类问题时，一定要注意分类讨论，避免漏解

.

方法与技巧

1．集合中元素的两个特性在解题时经常用到．解题后要进行检验，要重视符号语言与文字语

言之间的相互转化．

2．对连续数集间的运算，借助数轴的直观性，进行合理转化；对已知连续数集间的关系，求

其中参数的取值范围时，要注意单独考察等号．

3．对离散的数集间的运算，或抽象集合间的运算，可借助Venn 图．这是数形结合思想的又

一体现．

失误与防范

1．集合问题解题中要认清集合中元素的属性(是数集、点集还是其他类型集合)，要对集合进

行化简．

2．空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集，时刻关注对空集的讨论，防止漏解．

3．解题时注意区分两大关系：一是元素与集合的从属关系；二是集合与集合的包含关系．

4．Venn 图图示法和数轴图示法是进行集合交、并、补运算的常用方法，其中运用数轴图示

法要特别注意端点是实心还是空心．

5．要注意A ?B 、A ∩B ＝A 、A ∪B ＝B 、?U A ??U B 、A ∩(?U B )＝?这五个关系式的等价性

.

A 组 专项基础训练

(时间：30分钟)

一、选择题

1． (2013·重庆)已知全集U ＝{1,2,3,4}，集合A ＝{1,2}，B ＝{2,3}，则?U (A ∪B )等于( )

A ．{1,3,4}

B ．{3,4}

C ．{3}

D ．{4}

答案 D 解析 因为A ∪B ＝{1,2,3}，全集U ＝{1,2,3,4}，所以?U (A ∪B )＝{4}，故选D.

2． 下列集合中表示同一集合的是

( ) A ．M ＝{(3,2)}，N ＝{(2,3)}

B ．M ＝{2,3}，N ＝{3,2}

C ．M ＝{(x ，y )|x ＋y ＝1}，N ＝{y |x ＋y ＝1}

D ．M ＝{2,3}，N ＝{(2,3)}

答案 B

解析 选项A 中的集合M 表示由点(3,2)所组成的单点集，集合N 表示由点(2,3)所组成的单点集，故集合M 与N 不是同一个集合．选项C 中的集合M 表示由直线x ＋y ＝1上的所有点组成的集合，集合N 表示由直线x ＋y ＝1上的所有点的纵坐标组成的集合，即N ＝{y |x ＋y ＝1}＝R ，故集合M 与N 不是同一个集合．选项D 中的集合M 有两个元素，而集合N 只含有一个元素，故集合M 与N 不是同一个集合．对选项B ，由集合元素的性质，可知M ，N 表示同一个集合．

3． 已知全集S ＝{1,2，a 2－2a ＋3}，A ＝{1，a }，?S A ＝{3}，则实数a 等于 ( )

A ．0或2

B ．0

C ．1或2

D ．2 答案 D

解析 由题意，知?????

a ＝2，a 2－2a ＋3＝3，则a ＝2. 4． 设集合M ＝{m ∈Z |m ≤－3或m ≥2}，N ＝{n ∈Z |－1≤n ≤3}，则(?Z M )∩N 等于( )

A ．{0,1}

B ．{－1,0,1}

C ．{0,1,2}

D ．{－1,0,1,2} 答案 B

解析 由已知，得?Z M ＝{－2，－1,0,1}，

N ＝{－1,0,1,2,3}，所以(?Z M )∩N ＝{－1,0,1}．

5． 已知集合M ＝{0,1,2,3,4}，N ＝{1,3,5}，P ＝M ∩N ，则P 的子集共有

( ) A ．2个 B ．4个 C ．6个 D ．8个

答案 B

解析 ∵M ＝{0,1,2,3,4}，N ＝{1,3,5}，∴M ∩N ＝{1,3}．

∴M ∩N 的子集共有22＝4个．

6． 已知集合A ＝{x |x 2－x －2<0}，B ＝{x |－1

( )

A ．A B

B ．B A

C ．A ＝B

D ．A ∩B ＝?

答案 B

解析 因为A ＝{x |x 2－x －2<0}，

所以A ＝{x |－1

又B ＝{x |－1

( )

A ．(0,1)

B ．(0,2]

C ．(1,2)

D ．(1,2]

答案 D

解析 A ＝{x |1＜x ＜4}，B ＝{x |x ≤2}，∴A ∩B ＝{x |1＜x ≤2}．

8. 设全集U 为整数集，集合A ＝{x ∈N |y ＝7x －x 2－6}，B ＝{x ∈Z |－

1

A ．3

B ．4

C ．7

D ．8

答案 C 解析 因为A ＝{x ∈N |y ＝7x －x 2－6}＝{x ∈N |7x －x 2－6≥0}＝{x ∈N |1≤x ≤6}，

由题意，知题图中阴影部分表示的集合为A ∩B ＝{1,2,3}，

所以其真子集有?，{1}，{2}，{3}，{1,2}，{1,3}，{2,3}，共7个．

二、填空题

9． 已知集合A ＝{1,3，a }，B ＝{1，a 2－a ＋1}，且B ?A ，则a ＝__________.

答案 －1或2

解析 由a 2－a ＋1＝3，得a ＝－1或a ＝2，经检验符合．由a 2－a ＋1＝a ，得a ＝1，由于集合中不能有相同元素，所以舍去．故a ＝－1或2.

10．已知集合A ＝{(0,1)，(1,1)，(－1，2)}，B ＝{(x ，y )|x ＋y －1＝0，x ，y ∈Z }，则A ∩B ＝

__________.

答案 {(0,1)，(－1,2)}

解析 A 、B 都表示点集，A ∩B 即是由A 中在直线x ＋y －1＝0上的所有点组成的集合，代入验证即可．

11．(2013·天津改编)已知集合A ＝{x ||x |≤2}，B ＝{x |x ≤1}，则A ∩B ＝________.

答案 {x |－2≤x ≤1}

解析 易知A ＝{x |－2≤x ≤2}，∴A ∩B ＝{x |－2≤x ≤1}．

12．已知集合A ＝{x |1≤x <5}，C ＝{x |－a

答案 (－∞，－1]

解析 因为C ∩A ＝C ，所以C ?A

.

①当C ＝?时，满足C ?A ，此时－a ≥a ＋3，得a ≤－32

； ②当C ≠?时，要使C ?A ，则????? －a

a ＋3<5，解得－32

(时间：15分钟)

1． 设集合A ＝{1,2,3,4,5,6}，B ＝{4,5,6,7,8}，则满足S ?A 且S ∩B ≠?的集合S 的个数是

( )

A ．57

B ．56

C ．49

D ．8

答案 B

解析 集合S 的个数为26－23＝64－8＝56.

2． 已知集合M ＝{x |

x x －1≥0，x ∈R }，N ＝{y |y ＝3x 2＋1，x ∈R }，则M ∩N 等于 ( ) A ．?

B ．{x |x ≥1}

C ．{x |x >1}

D ．{x |x ≥1或x <0} 答案 C

解析 由x x －1≥0，得?????

x ≠1，x (x －1)≥0， ∴x >1或x ≤0，∴M ＝{x |x >1或x ≤0}，N ＝{y |y ≥1}，

M ∩N ＝{x |x >1}．

3． 已知U ＝{x ∈Z |y ＝ln ????9x －1}，M ＝{x ∈Z ||x －4|≤1}，N ＝{x ∈N |6x

∈Z }，则集合{4,5}等于

( ) A ．M ∩N

B ．M ∩(?U N )

C ．N ∩(?U M )

D ．(?U M )∪(?U N )

答案 B

解析 集合U 为函数y ＝ln ????9x －1的定义域内的整数集，

由9x －1>0，即9－x x

>0，解得0

故U ＝{1,2,3,4,5,6,7,8}．

集合M 为满足不等式|x －4|≤1的整数集，

解|x －4|≤1，得3≤x ≤5，

又x ∈Z ，

所以x 可取3,4,5，故M ＝{3,4,5}．

集合N 是使6x

为整数的自然数集合， 显然当x ＝1时，6x

＝6； 当x ＝2时，6x

＝3； 当x ＝3时，6x

＝2； 当x ＝6时，6x

＝1. 所以N ＝{1,2,3,6}．

显然M ?U ，N ?U .

而4∈M,4∈U,4?N,5∈M,5∈U,5?N ，

所以4∈M,4∈?U N,5∈M,5∈?U N ，

即{4,5}＝M ∩(?U N )．

4． 已知U ＝{y |y ＝log 2x ，x >1}，P ＝{y |y ＝1x

，x >2}，则?U P ＝________. 答案 ???

?12，＋∞ 解析 ∵U ＝{y |y ＝log 2x ，x >1}＝{y |y >0}，

P ＝{y |y ＝1x ，x >2}＝{y |0

}， ∴?U P ＝{y |y ≥12}＝????12

，＋∞. 5． 已知集合A ＝{x |y ＝lg(x －x 2)}，B ＝{x |x 2－cx <0，c >0}，若A ?B ，则实数c 的取值范围是

________．

答案 [1，＋∞)

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