数学与应用数学 毕业论文——正交矩阵及其应用

本科生毕业设计（论文）正交矩阵及其应用

学院：

专业：数学与应用数学

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指导教师：

二〇一一年六月

摘要

如果n阶实矩阵A满足T

,那么称A为正交矩阵．正交矩阵是由内积引出的．

A A E

本文例举了正交矩阵在线性代数、化学和物理中的三个应用．在线性代数中,求标准正交基一般用Schimidt正交化方法．本文论证了一种特殊的正交矩阵——初等旋转矩阵——也可以求任一向量空间的标准正交基,并通过实例说明此方法的应用．在化学上,原子轨道的杂化,实际是由一组相互正交的单位基向量,通过线性变换转化为另一组相互正交的单位基向量．而线性代数中由一组标准正交基到另一组标准正交基的过渡矩阵是正交矩阵,因此可以利用正交矩阵的性质求原子轨道的杂化轨道式．在物理上,任一刚体运动都对应一个正交矩阵,本文证明了曲线作刚体运动时曲率和挠率是两个不变量．

关键词：正交矩阵;初等旋转矩阵;标准正交基;原子轨道的杂化;曲率;挠率

I

Abstract

Orthogonal matrices and its applications

If a n-dimensional real matrix A satisfies E

AA T ,we call it orthogonal matrix. Orthogonal matrix is extracted by inner product.

This paper enumerats the applications of orthogonal matrix in linear algebra, chemistry, and physics. Schimidt method is always used to find the standard orthogonal basis in linear algebra. A special kind of orthogonal matrix, namely elementary rotational matrix, is established to find the standard orthogonal basis in this paper. The orbital atom heterozygous is actually made by a team of mutually orthogonal unit basis vector, through linear transformation into another group of mutually orthogonal unit basis in linear algebra. The transition matrix of a group of standard orgthogonal basis to another group of standard orthogonal basis is an orthogonal matrix. Therefore, properties of orthogonal basis can be used to find the orbital atom heterozygous. In physics, any rigid motion corresponds with an orthogonal matrix. The curvature and torsion rate are proved to be two invariants when a curve is in rigid motion.

Keywords:Orthogonal matrix; Elementary rotation matrix; Standard orthogonal basis; The orbital atom heterozygous; Curvature;Torsion rate

II

目录

1.引言 (1)

2.正交矩阵的基本知识 (3)

2.1正交矩阵的定义与判定 (3)

2.2 正交矩阵的性质 (3)

3.正交矩阵的应用 (5)

3.1 正交矩阵在线性代数中的应用 (5)

3.2正交矩阵在化学中的应用 (11)

3.3正交矩阵在物理学中的应用 (14)

参考文献 (18)

致谢 (19)

III

正交矩阵及其应用

姓名：学号：班级：

1.引言

因为行列式要求行数等于列数,排成的表总是正方形的,通过对它的研究又发现了矩阵的理论.矩阵也是由数排成行和列的数表,可以行数和烈数相等也可以不等.

矩阵和行列式是两个完全不同的概念,行列式代表着一个数,而矩阵仅仅是一些数的有顺序的摆法.利用矩阵这个工具,可以把线性方程组中的系数组成向量空间中的向量;这样对于一个多元线性方程组的解的情况,以及不同解之间的关系等等一系列理论上的问题,就都可以得到彻底的解决.

矩阵是数学中的一个重要的基本概念,是代数学的一个主要研究对象,也是数学研究和应用的一个重要工具.“矩阵”这个词是由西尔维斯特首先使用的,他是为了将数字的矩形阵列区别于行列式而发明了这个述语.而实际上,矩阵这个课题在诞生之前就已经发展的很好了.从行列式的大量工作中明显的表现出来,为了很多目的,不管行列式的值是否与问题有关,方阵本身都可以研究和使用,矩阵的许多基本性质也是在行列式的发展中建立起来的.在逻辑上,矩阵的概念应先于行列式的概念,然而在历史上次序正好相反.

凯莱先把矩阵作为一个独立的数学概念提出来,同研究线性变换下的不变量相结合,首先引进矩阵以简化记号并发表了关于这个题目的一系列文章.1858年,他发表了关于这一课题的第一篇论文《矩阵论的研究报告》,系统地阐述了关于矩阵的理论.文中他定义了矩阵的相等、矩阵的运算法则、矩阵的转置以及矩阵的逆等一系列基本概念,指出了矩阵加法的可交换性与可结合性.另外,凯莱还给出了方阵的特征方程和特征根（特征值）以及有关矩阵的一些基本结果.凯莱出生于一个古老而有才能的英国家庭,剑桥大学三一学院大学毕业后留校讲授数学,三年后他转从律师职业,工作卓有成效,并利用业余时间研究数学,发表了大量的数学论文.

1855年,埃米特(C.Hermite,1822～1901)证明了别的数学家发现的一些矩阵类的特征根的特殊性质,如现在称为埃米特矩阵的特征根性质等.后来,克莱伯施(A.Clebsch,1831.1872)、布克海姆(A.Buchheim)等证明了对称矩阵的特征根性质.泰伯(H.Taber)引入矩阵的迹的概念并给出了一些有关的结论.

在矩阵论的发展史上,弗罗伯纽斯(G.Frobenius,1849～1917)的贡献是不可磨灭的.他讨论

1

了最小多项式问题,引进了矩阵的秩、不变因子和初等因子、正交矩阵、矩阵的相似变换、合同矩阵等概念,以合乎逻辑的形式整理了不变因子和初等因子的理论,并讨论了正交矩阵与合同矩阵的一些重要性质.1854年,约当研究了矩阵化为标准型的问题.1892年,梅茨勒(H.Metzler)引进了矩阵的超越函数概念并将其写成矩阵的幂级数的形式.傅立叶、西尔和庞加莱的著作中还讨论了无限阶矩阵问题,这主要是适用方程发展的需要而开始的.

矩阵本身所具有的性质依赖于元素的性质,矩阵由最初作为一种工具经过两个多世纪的发展,现在已成为独立的一门数学分支——矩阵论.而矩阵论又可分为矩阵方程论、矩阵分解论和广义逆矩阵论等矩阵的现代理论.矩阵的应用是多方面的,不仅在数学领域里,而且在化学、力学、物理、科技等方面都十分广泛的应用.

本文主要介绍正交矩阵与其应用.

我们把n阶实数矩阵A满足E

AA T ,称A为正交矩阵.尽管我们在这里只考虑实数矩阵,但这个定义可用于其元素来自任何域的矩阵.

正交矩阵是由内积自然引出的,要看出其与内积的联系,考虑在n维实数内积空间中的关于正交基写出的向量v.v的长度的平方是2v.如果矩阵形式为Qv的线性变换保持了向量长度,所以有限维线性等距同构,比如旋转、反射和它们的组合,都产生正交矩阵.

本文例举了正交矩阵在线性代数、化学和物理中的三大应用.其中,在线性代数中,求标准正交基除了用Schimidt正交化方法外,本文论证了正交矩阵的其中一种矩阵...初等旋转矩阵也可以求任一矩阵的标准正交基,此法用实例与Schimidt正交化方法对比;在化学上,根据原子轨道的杂化理论,杂化的原子都有其轨道杂化式,对于形成对阵的原子轨道杂化,利用正交矩阵的性质可以求解该原子杂化轨道的杂化轨道式;在物理上,任一刚体运动都对应一个正交矩阵, 三维空间一条曲线经过刚体运动,其曲率和挠率是不变的,本文考察了曲线做刚体运动时的不变量——曲率和挠率.

2

3

2.正交矩阵的基本知识

本节中在没有特别说明的情况下,A 都表示为正交矩阵,记矩阵A 的秩为()r A ,i α与j α为矩阵A 的第i 列与第j 列,T

i α表示矩阵A 的第i 行. d et A 表示行列式的值即d et A =A .

2.1正交矩阵的定义与判定

定义2.1.1[3] n 阶实数矩阵A 满足E AA T

=（或E A A T =,或E AA

=-1

）,则称A 为正

交矩阵.

判定2.1.2 矩阵A 是正交矩阵?1

T A A -=; 判定2.1.3 矩阵A 是正交矩阵?1()(,1,2,0

(),T

i j i j i j i j αα=?==?

≠? ，)n ;

判定2.1.4 矩阵A 是正交矩阵?1

()(,1,2,,0

(),

T i j

i j i j i j αα

=?==?≠? )n ;

备注：判定一个是方阵A 是否为正交矩阵往往用定义,即E AA

T

=（或E A A T

=,或

E AA

=-1

）,也可以验证A 的行向量或列向量是否是两两正交的单位向量.当已知A 的正交矩阵

求证其他的结论时,要用正交矩阵的定义及有关性质

2.2 正交矩阵的性质

若A 是正交矩阵,则A 有以下性质

([3])

：

性质2.2.5 1A =±,则A 可逆,且其逆1

-A 也为正交矩阵.

证明 显然1±=A . ()

(

)

(

)

1

1

1

---==A

A

A

T

T

T

所以1

-A

也是正交矩阵.

性质2.2.6 *

A ,T

A ,也是正交矩阵, 即有:

(1)当1A =时, *

A A T =, 即*

()T

ij A A =;

(2)当1A =-时, *

A A T =, 即*

()T ij A A =-.

证明 若A 是正交矩阵,1T A A -=, 由性质2.2.5,T

A 为正交矩阵.

4

因为A

A

A

A

A T

*

1

,1=

=±=-,所以,当1A =时, *

A A T =, 即*

()T ij A A =;当1A =-时.

*T

A

A =-, 即*()

T

ij A A =-.从而*

A 为正交矩阵.

性质2.2.7 (1,2,)k

A k = 是正交矩阵. 证明 因为()

(

)

k

T

T

k

A

A =,所以()

()

()

T

k

k

k

k

T

k

T

A

A

A A

E A

A

=

==.因此,k

A 也是正交

矩阵

性质2.2.8 lA 是正交矩阵的充分必要条件是1±=l .

证明 必要性 若lA 是正交矩阵,则另一方面()()

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