()1
2
1
1T lA lA lA lA l
A A --===,一方面
()
T
l A l A E =,于是,2
1l =,1±=l ;
充分性 因为A 是正交矩阵,若1±=l ,显然lA 也是正交矩阵.
性质2.2.9 若B 也是正交矩阵, 则AB ,B A T
,T
AB ,B A 1-,1
-AB
都为正交矩阵.
证明 由1
1
,--==B
B
A
A
T
T
可知()()1
1
1---===AB A B A B AB T T T ,
故AB 为正交矩阵.同理推知B A T
,T
AB
,B A 1-,1
-AB
均为正交矩阵.
正交矩阵的性质主要有以上几点, 还有例如它的特征值的模为1, 且属于不同特征值的特征向量相互正交; 如果λ是它的特征值, 那么λ
1
也是它的特征值, 另外正交矩阵可以对角化, 即
存在复可逆矩阵T , 使
11n A T
T λλ-?? ?
= ? ??
?
, 其中n λλ,,1 为A 的全部特征值, 即()11,2,,i i n λ== . 这些性质证明略.
5
3.正交矩阵的应用
3.1 正交矩阵在线性代数中的应用
在线性代数中我们通常用施密特方法求标准正交基,现在可以用正交矩阵中的一种殊矩阵求标准正交基---初等旋转矩阵即Givens 矩阵.
定义3.1[1]
设向量(
)12,,,,0,,,T
i k
n t t
T t t t s c d s
s
==
≠=
=
则称n 阶矩阵
10001000000100100000
10
1ik
c d i G d c k i
k
?? ? ? ? ? ? ? ?= ?
? ?- ? ? ? ? ???
为向量T 下的Givens 矩阵或初等旋转矩阵,也可记作(),ik ik G G c s =.
下面给出Givens 矩阵的三个性质
[2],[10]
性质3.1.1 Givens 矩阵是正交矩阵.
证明 由2222
2
2
1i k t t c d s
s
+=
+
=,则G T
ik ik G E =,故ik G 是正交矩阵.
性质3.1.2 设()()1212,,,,,,,T T
n ik n T t t t y G T y y y === ,则有
,0,(,)i k j j y s y y t j i k ===≠.
证明 由ik G 的定义知, (,)j j y t j i k =≠,且
2
2
,i
k
i i k t t y ct d t s s
s
=+=
+
=0i k i k k i k t t t t y d t ct s
s
=-+=-
+
=,
6
即ik G 右乘向量T ,只改变向量T 第i 和第k 个元素,其他元素不变.
性质 3.1.3 任意矩阵A 右乘ik G ,ik A G 只改变A 的第i 列和k 列元素; 任意矩阵左乘
ik G ,ik G A 只改变A 的第i 行和k 行元素.
证明 由性质3.1.2和矩阵乘法易得结论. 引理3.1.4[2]
任何n 阶实非奇异矩阵 , ()
n
n ij
a A ?= 可通过左连乘初等旋转矩阵化为上三
角矩阵, 且其对角线元素除最后一个外都是正的.
定理3.1.5
[10]
设Q 是n 阶正交矩阵
()I 若1Q =, 则P 可表示成若干个初等旋转矩阵的乘积, 即12r Q Q Q Q = ;
()II 若1Q =-, 则Q 可以表示成若干个初等旋转矩阵的乘积再右乘以矩阵n E -, 即
12r n Q Q Q Q E -= , 其中(1,2,)i Q i r = 是初等旋转矩阵.
（11
1
1n
n n
E -??? ? ? ?= ? ? ?-?
?
）. 证明 由于Q 是n 阶正交矩阵,根据引理3.1.4知存在初等旋转矩阵12,,,r S S S , 使
121r r S S S S Q R -= （这里R 是n 阶上三角阵）,
而且R 的主对角线上的元素除最后一个外都是正的,于是
12T
T
T
r Q S S S R = （3-11）
注意到Q 是正交矩阵,由（3-11）式得,112T
T
T
T
T
r r Q Q R S S S S S R E == ,即
E R R =' （3-12）
设R =11
12122
2n n
n n r r r r r r ??
?
? ? ? ??
?
,其中,0(1,2,,1)ii
r i n >=- ,则
7
T
R R =1112
2212n
n
n n r r r r r r ?? ?
? ? ? ???
11
12122
2n n
n n r r r r r r ?? ? ? ? ? ??
?
=11
1??
? ? ?
? ??
?
. 由上式得
,(,1,2,,1)1,
(,1,2,,1)
11,1 1.
ij i j i j n i j i j n r i j n Q i j n Q ≠=-??==-?=?
===??-===-?
且且
所以
1,1n
E Q R E Q -?=?=?=-??，
当当 , （3-13）
即,当1Q =时,12T T T r Q SS S S = ;当1Q =-时, 12T T T
r Q S S S = n E -.
记(1,2,,)T
i i S Q i r == ,注意到i Q 是初等旋转矩阵,故定理1结论成立.
引理 3.1.6[1]
设1()ij n m R A a A m A Q O ???
=== ???
，秩（），则其中Q 是n 阶正交矩阵,1R 是
m 阶上三角阵,O 是m m n ?-)(零矩阵.
定理3.1.7
[10]
设()ij n m A a A m ?==，r （）,则A 可以通过左连乘初等旋转矩阵,把T
A 变为
R O ??
???
的形式,其中R 是m 阶上三角阵,O 是m m n ?-)(矩阵. 证明 由引理3.1.6知1R A Q O ??
=
???
,其中Q 是n 阶正交矩阵,1R 是m 阶上三角阵.又根据定理1知：11
,1
,1r n r Q Q E Q Q Q Q Q -?=-?=?=?? ,则12,i
Q i r = （，）是初等旋转矩阵. (I)当1Q =时,11211 T T
r r R R A Q Q Q R R Q Q A O O ????===
? ?????
令，; (II)当1Q =-时,112r n
R A Q Q Q E O -??= ??? ,则111.T T
r n n R R R Q Q A E E O O O --??????== ? ? ???????
记.
8
显然,R 是m 阶上三角阵,当n m =时,R 与1R 除最后一行对应元素绝对相等、符号相反外,其余元素对应相等.当时n m >时,
1R R =.
综上,知本定理的结论成立.
设112111n a a a α?? ? ?= ?
? ?
??
,1222
22n a a a α?? ? ?= ? ? ??? , ,12m
m
m
n m
a a
a α??
?
?= ? ? ???
是欧氏空间n R 的子空间n V 的一组基, 记
1112121
222121
2
()m m
m n n n m a a a a a a A a a a ααα??
?
?== ?
? ???
是秩为的n m ?的矩阵.
若()ij n m A a ?=满足定理2的条件,则存在初等旋转矩阵12,,,r Q Q Q ,使
1
T T
r R Q Q A O ??
= ???
（3-14）
且 12()T
r E Q Q Q Q Q == 21()T
T
T
r Q Q Q
所以
2121T
T
T
T
T
T
T
r r Q Q Q E Q Q Q Q == （3-15） 由（3-14）（3-15）两式知,对A 、E 做同样的旋转变换,在把A 化为????
??O R 的同时,就将E 化
成了T Q ,而Q 的前m 个列向量属于子空间n
V .
综上所述可得化欧氏空间的子空间n
V 的一组基12,,,m ααα 12((,,,),1,T
i i i ni a a a i α==
2,,)m 为一组标准正交基的方法:
（1）由已知基12,,,m ααα 为列向量构成矩阵()ij n m A a ?=;
（2）对矩阵)(E A 施行初等旋转变换,化A 为???
?
??O
R
,同时E 就被化为正交矩阵T Q ,这里R 是
9
m 阶上三角阵;
（3）取Q 的前m 个列向量便可得n
V 的一组标准正交基. 显然,上述方法是求子空间n
V 的一组标准正交基的另一种方法. 下面,我们通过实例对比Schimidt 正交化求标准正交基.
例 求以向量1(1,1,0,0)α=-,2(1,0,1,0)α=-,3(1,0,0,1)α=-为基的向量空间3
V 的一组标准正交基.
解 方法一 用Schimidt 正交化把它们正交化：
'
11(1,1,0,0)εα==-,
'
'2122'
'
11(,)11(,,1,0)(,)2
2
αεεαεε=-
=-
-
,
''
'
'
'
31323312'
''
'
1122(,)(,)111(,,,1)(,)
(,)
3
3
3
αεαεεαεεεεεε=-
-
=-
-
-
再把每个向量单位化,得
'
11'
11
(0,0)εεε=
=-
-
,
'
22'
21
11(0)εεε=
=-
-
,
'
33'
3
1
(2
εεε=
=-
-
-
.
即,
1T
ε,2T
ε,3T
ε就是由123,,T
T
T
ααα,得到的3
V 的一组标准正交基.
方法二 （利用连乘初等旋转矩阵） 设
矩阵1231111
00
(,,)0100
1A ααα---?? ?
?== ? ???
, 对分块矩阵)(E A 依次左乘12T ,23T ,34T ,
10
12
T
=0
022*********
1??- ? ? ?--
? ? ? ??
?
,23
T
=1
0000000000
1?? ?
?
? ? ?- ?
? ??
?,34T
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