'
111
'
'
'
'
'
'
''''''
'''
'''
'''
11111111111
1
''
''
''
''
''
''
''''''
'''1
1
1
1
1
1
1
1
1
x y z y z z x x y x y z x y z y z z x x y x y z =++, (3-24)
16
''''''''''''''''''
'''
'''
''
''
''
''
''
''
'''
'''
'''
x y z y z z x x y x y z x
y
z
y
z
z
x
x
y
x
y
z
=++, (3-25)
(3-22)代入(3-24)的右边,得
()
()
()
'
'
'
'
'
'
'''''''''
'''
'''
'''
'''
'''
'''
11111111
1213212223313233''
''
''
''
''
''
1
1
1
1
1
1
y z z x x y a
x a y a z
a x a y a z
a x a y a z
y z z x z y ++++++++
='
'
'
'
'
'
'''
'''
'''
1
11111112131''''
''
''
''
''11
1
11
1y z z x x y a x a x
a x
y z z x x y ??++ ? ??
? +'
'
'
'
'
'
'''
''''''1
11111122232''''
''''
''
''11
1
1
1
1y z z x x y a y a y
a y
y z z x x y ??++ ? ??
?
+ '
'
'
'
'
''''
'''
'''
1
11111132333''''
''
''
''
''
11
1
1
1
1y z z x x y a z a z
a z
y z z x x y ??
++ ? ??
?
. （3-26） 因(3-24)与(3-25)右边相等, 有(3-25)右边与(3-26)式右边相等,得
'
'
'
'
'
'
''11111111
21
31
''''
''''
''''
''
''
1
1
1
1
1
1
y z z x x y y z a a a y z z x x y y
z
=++,
'
'
'
'
'
'
''111111122232
'''''''''''''
'
1
1
1
1
1
1y z z x x y z x a a a y z z x x y z x =++,
'
'
''''''11111113
23
33
''
''
''
''
''
'''
,
1
1
1
1
1
1
y z z x x y z x a a a y z z x x y z
x
=++.
由正交矩阵的性质 2.2.6知, *
()T
ij A A =且由1
(,1,2,3)n
ji kj jk
i A A j k δ
===∑,将上面三式左右分
别平方相加,
2
2
2
''''''''
''
''
''
''
''
y z z x x y y
z
z
x
x
y
+
+
=2
''222
1111
12
13
'
'
1
1()y z A
A
A
y z ++
+2
''2221121
22
23
'
'11
()
z x A
A
A
z x ++
+2
''222
1131
32
33
'
'1
1()x y A
A
A
x y ++
=
2
2
2
'
'
'
'
'
'
111111''
''
''
''
''
''1
1
1
1
1
1
y z z x x y y z z x x y +
+
.
17
写成矢量函数, 即得
'
''
'
''
11()()()()r t r t r t r t →→→→?=?.
于是我们可推得
'
''
'
''
1113
3
'
'
1()()()()()
()
r t r t r t r t K K r t r t →→→→→→??=
=
=,
'
''
'''
'
''
'''
1111'
''
'
'
2
2
11((),(),())
((),(),())
(()())
(()())
r t r t r t r t r t r t r t r t r t r t ττ→→→→→→→→→→=
=
=??.
这里的11,;,K K ττ分别是曲线1(),()r t r t →
→
的曲率与挠率.
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