2024年山东省聊城市中考数学试卷(5)

24．（10.00分）（2018?聊城）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，BE平分∠ABC交AC于点E，作ED⊥EB交AB于点D，⊙O是△BED的外接圆． （1）求证：AC是⊙O的切线；

（2）已知⊙O的半径为2.5，BE=4，求BC，AD的长．

【分析】（1）连接OE，由OB=OE知∠OBE=∠OEB、由BE平分∠ABC知∠OBE=∠CBE，据此得∠OEB=∠CBE，从而得出OE∥BC，进一步即可得证； （2）证△BDE∽△BEC得得

=

=

，据此可求得BC的长度，再证△AOE∽△ABC

，据此可得AD的长．

【解答】解：（1）如图，连接OE，

∵OB=OE， ∴∠OBE=∠OEB， ∵BE平分∠ABC， ∴∠OBE=∠CBE， ∴∠OEB=∠CBE， ∴OE∥BC， 又∵∠C=90°，

∴∠AEO=90°，即OE⊥AC， ∴AC为⊙O的切线；

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（2）∵ED⊥BE， ∴∠BED=∠C=90°， 又∵∠DBE=∠EBC， ∴△BDE∽△BEC， ∴

=

，即=；

，

∴BC=

∵∠AEO=∠C=90°，∠A=∠A， ∴△AOE∽△ABC， ∴

=

，即

=

，

解得：AD=．

【点评】本题主要考查切线的判定与性质，解题的关键是掌握切线的判定与性质及相似三角形的判定与性质．

25．（12.00分）（2018?聊城）如图，已知抛物线y=ax2+bx与x轴分别交于原点O和点F（10，0），与对称轴l交于点E（5，5）．矩形ABCD的边AB在x轴正半轴上，且AB=1，边AD，BC与抛物线分别交于点M，N．当矩形ABCD沿x轴正方向平移，点M，N位于对称轴l的同侧时，连接MN，此时，四边形ABNM的面积记为S；点M，N位于对称轴l的两侧时，连接EM，EN，此时五边形ABNEM的面积记为S．将点A与点O重合的位置作为矩形ABCD平移的起点，设矩形ABCD平移的长度为t（0≤t≤5） （1）求出这条抛物线的表达式； （2）当t=0时，求S△OBN的值；

（3）当矩形ABCD沿着x轴的正方向平移时，求S关于t（0＜t≤5）的函数表达式，并求出t为何值时S有最大值，最大值是多少？

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【分析】（1）根据点E、F的坐标，利用待定系数法即可求出抛物线的表达式； （2）找出当t=0时，点B、N的坐标，进而可得出OB、BN的长度，再根据三角形的面积公式可求出S△OBN的值；

（3）分0＜t≤4和4＜t≤5两种情况考虑：①当0＜t≤4时（图1），找出点A、B、M、N的坐标，进而可得出AM、BN的长度，利用梯形的面积公式即可找出S关于t的函数关系式，再利用二次函数的性质即可求出S的最大值；②当4＜t≤5时，找出点A、B、M、N的坐标，进而可得出AM、BN的长度，将五边形分成两个梯形，利用梯形的面积公式即可找出S关于t的函数关系式，再利用二次函数的性质即可求出S的最大值．将①②中的S的最大值进行比较，即可得出结论．

【解答】解：（1）将E（5，5）、F（10，0）代入y=ax2+bx，

，解得：

，

∴抛物线的表达式为y=﹣x2+2x．

（2）当t=0时，点B的坐标为（1，0），点N的坐标为（1，）， ∴BN=，OB=1， ∴S△OBN=BN?OB=

．

（3）①当0＜t≤4时（图1），点A的坐标为（t，0），点B的坐标为（t+1，0）， ∴点M的坐标为（t，﹣t2+2t），点N的坐标为（t+1，﹣（t+1）2+2（t+1））， ∴AM=﹣t2+2t，BN=﹣（t+1）2+2（t+1），

∴S=（AM+BN）?AB=×1×[﹣t2+2t﹣（t+1）2+2（t+1）]，

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=﹣t2+t+

，

，

=﹣（t﹣）2+∵﹣＜0，

∴当t=4时，S取最大值，最大值为；

②当4＜t≤5时（图2），点A的坐标为（t，0），点B的坐标为（t+1，0）， ∴点M的坐标为（t，﹣t2+2t），点N的坐标为（t+1，﹣（t+1）2+2（t+1））， ∴AM=﹣t2+2t，BN=﹣（t+1）2+2（t+1），

∴S=（5﹣t）（﹣t2+2t+5）+（t﹣4）[5﹣（t+1）2+2（t+1）]， =（t3﹣3t2+5t+25）+（﹣t3+=﹣=﹣∵﹣

t2+

t﹣

，

，

t2+t﹣

），

（t﹣）2+＜0，

∴当t=时，S取最大值，最大值为∵

=

＜

，

．

∴当t=时，S有最大值，最大值是．

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【点评】本题考查了待定系数法求二次函数解析式、二次函数图象上点的坐标特征、二次函数的性质、梯形的面积以及三角形的面积，解题的关键是：（1）根据点的坐标，利用待定系数法求出二次函数关系式；（2）利用二次函数图象上点的坐标特征求出当t=0时点N的坐标；（3）分0＜t≤4和4＜t≤5两种情况找出S关于t的函数关系式．

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