2024年湖南省长沙市中考数学试卷(3)

11．（3.00分）我国南宋著名数学家秦九韶的著作《数书九章》里记载有这样一道题：“问有沙田一块，有三斜，其中小斜五里，中斜十二里，大斜十三里，欲知为田几何？”这道题讲的是：有一块三角形沙田，三条边长分别为5里，12里，13里，问这块沙田面积有多大？题中“里”是我国市制长度单位，1里=500米，则该沙田的面积为（ ） A．7.5平方千米

B．15平方千米 C．75平方千米 D．750平方千米

【分析】直接利用勾股定理的逆定理进而结合直角三角形面积求法得出答案． 【解答】解：∵52+122=132，

∴三条边长分别为5里，12里，13里，构成了直角三角形，

∴这块沙田面积为：×5×500×12×500=7500000（平方米）=7.5（平方千米）． 故选：A．

12．（3.00分）若对于任意非零实数a，抛物线y=ax2+ax﹣2a总不经过点P（x0﹣3，x02﹣16），则符合条件的点P（ ）

A．有且只有1个 B．有且只有2个 C．有且只有3个 D．有无穷多个 【分析】根据题意可以得到相应的不等式，然后根据对于任意非零实数a，抛物线y=ax2+ax﹣2a总不经过点P（x0﹣3，x02﹣16），即可求得点P的坐标，从而可以解答本题．

【解答】解：∵对于任意非零实数a，抛物线y=ax2+ax﹣2a总不经过点P（x0﹣3，

x02﹣16），

∴x02﹣16≠a（x0﹣3）2+a（x0﹣3）﹣2a ∴（x0﹣4）（x0+4）≠a（x0﹣1）（x0﹣4） ∴（x0+4）≠a（x0﹣1） ∴x0=﹣4或x0=1，

∴点P的坐标为（﹣7，0）或（﹣2，﹣15） 故选：B．

二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分) 13．（3.00分）化简：

= 1 ．

【分析】根据分式的加减法法则：同分母分式加减法法则：同分母的分式想加减，分母不变，把分子相加减计算即可． 【解答】解：原式=故答案为：1．

14．（3.00分）某校九年级准备开展春季研学活动，对全年级学生各自最想去的活动地点进行了调查，把调查结果制成了如下扇形统计图，则“世界之窗”对应扇形的圆心角为 90 度．

=1．

【分析】根据圆心角=360°×百分比计算即可；

【解答】解：“世界之窗”对应扇形的圆心角=360°×（1﹣10%﹣30%﹣20%﹣15%）=90°， 故答案为90．

15．（3.00分）在平面直角坐标系中，将点A′（﹣2，3）向右平移3个单位长度，再向下平移2个单位长度，那么平移后对应的点A′的坐标是 （1，1） ．

【分析】直接利用平移的性质分别得出平移后点的坐标得出答案． 【解答】解：∵将点A′（﹣2，3）向右平移3个单位长度， ∴得到（1，3），

∵再向下平移2个单位长度，

∴平移后对应的点A′的坐标是：（1，1）． 故答案为：（1，1）．

16．（3.00分）掷一枚质地均匀的正方体骰子，骰子的六个面上分别刻有1到6的点数，掷得面朝上的点数为偶数的概率是

．

【分析】先统计出偶数点的个数，再根据概率公式解答．

【解答】解：正方体骰子共六个面，点数为1，2，3，4，5，6，偶数为2，4，6， 故点数为偶数的概率为=， 故答案为：．

17．（3.00分）已知关于x方程x2﹣3x+a=0有一个根为1，则方程的另一个根为 2 ．

【分析】设方程的另一个根为m，根据两根之和等于﹣，即可得出关于m的一元一次方程，解之即可得出结论． 【解答】解：设方程的另一个根为m， 根据题意得：1+m=3， 解得：m=2． 故答案为：2．

18．（3.00分）如图，点A，B，D在⊙O上，∠A=20°，BC是⊙O的切线，B为切点，OD的延长线交BC于点C，则∠OCB= 50 度．

【分析】由圆周角定理易求∠BOC的度数，再根据切线的性质定理可得∠OBC=90°，进而可求出求出∠OCB的度°° 【解答】解： ∵∠A=20°， ∴∠BOC=40°，

∵BC是⊙O的切线，B为切点， ∴∠OBC=90°，

∴∠OCB=90°﹣40°=50°， 故答案为：50．

三、解答题（本大题共8个小题，第19、20题每小题6分，第21、22题每小题6分，第22、23题每小题6分，第25、26题每小题6分，共66分。解答时写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤) 19．（6.00分）计算：（﹣1）2018﹣

+（π﹣3）0+4cos45°

【分析】本题涉及零指数幂、乘方、二次根式化简和特殊角的三角函数值4个考点．在计算时，需要针对每个考点分别进行计算，然后根据实数的运算法则求得计算结果．

【解答】解：原式=1﹣2

20．（6.00分）先化简，再求值：（a+b）2+b（a﹣b）﹣4ab，其中a=2，b=﹣． 【分析】首先计算完全平方，计算单项式乘以多项式，然后再合并同类项，化简后，再代入a、b的值，进而可得答案．

【解答】解：原式=a2+2ab+b2+ab﹣b2﹣4ab=a2﹣ab， 当a=2，b=﹣时，原式=4+1=5．

21．（8.00分）为了了解居民的环保意识，社区工作人员在光明小区随机抽取了若干名居民开展主题为“打赢蓝天保卫战”的环保知识有奖问答活动，并用得到的数据绘制了如图条形统计图（得分为整数，满分为10分，最低分为6分）

+1+4×

=1﹣2

+1+2

=2．

请根据图中信息，解答下列问题： （1）本次调查一共抽取了 50 名居民；

（2）求本次调查获取的样本数据的平均数、众数和中位数；

（3）社区决定对该小区500名居民开展这项有奖问答活动，得10分者设为“一等奖”，请你根据调查结果，帮社区工作人员估计需准备多少份“一等奖”奖品？

【分析】（1）根据总数=个体数量之和计算即可； （2）根据平均数、总数、中位数的定义计算即可； （3）利用样本估计总体的思想解决问题即可； 【解答】解：（1）共抽取：4+10+15+11+10=50（人）， 故答案为50；

（2）平均数=（4×6+10×7+15×8=11×9+10×10）=8.26；

众数：得到8分的人最多，故众数为8．

中位数：由小到大排列，知第25，26平均分为8分，故中位数为8分；

（3）得到10分占10÷50=20%，

故500人时，需要一等奖奖品500×20%=100（份）．

22．（8.00分）为加快城乡对接，建设全域美丽乡村，某地区对A、B两地间的公路进行改建．如图，A、B两地之间有一座山．汽车原来从A地到B地需途径C地沿折线ACB行驶，现开通隧道后，汽车可直接沿直线AB行驶．已知BC=80千米，∠A=45°，∠B=30°．

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