2024年湖南省长沙市中考数学试卷(4)

（1）开通隧道前，汽车从A地到B地大约要走多少千米？

（2）开通隧道后，汽车从A地到B地大约可以少走多少千米？（结果精确到0.1

千米）（参考数据：≈141，≈1.73）

【分析】（1）过点C作AB的垂线CD，垂足为D，在直角△ACD中，解直角三角形求出CD，进而解答即可；

（2）在直角△CBD中，解直角三角形求出BD，再求出AD，进而求出汽车从A地到B地比原来少走多少路程．

【解答】解：（1）过点C作AB的垂线CD，垂足为D，

∵AB⊥CD，sin30°=∴CD=BC?sin30°=80×AC=

AC+BC=80+40

，BC=80千米，

（千米）， （千米），

≈40×1.41+80=136.4（千米），

答：开通隧道前，汽车从A地到B地大约要走136.4千米； （2）∵cos30°=

，BC=80（千米），

（千米），

∴BD=BC?cos30°=80×∵tan45°=∴AD=

∴AB=AD+BD=40+40

，CD=40（千米），

（千米），

≈40+40×1.73=109.2（千米），

∴汽车从A地到B地比原来少走多少路程为：AC+BC﹣AB=136.4﹣109.2=27.2（千米）．

答：汽车从A地到B地比原来少走的路程为27.2千米．

23．（9.00分）随着中国传统节日“端午节”的临近，东方红商场决定开展“欢度端午，回馈顾客”的让利促销活动，对部分品牌粽子进行打折销售，其中甲品牌粽子打八折，乙品牌粽子打七五折，已知打折前，买6盒甲品牌粽子和3盒乙品牌粽子需600元；打折后，买50盒甲品牌粽子和40盒乙品牌粽子需要5200元． （1）打折前甲、乙两种品牌粽子每盒分别为多少元？

（2）阳光敬老院需购买甲品牌粽子80盒，乙品牌粽子100盒，问打折后购买这批粽子比不打折节省了多少钱？

【分析】（1）设打折前甲品牌粽子每盒x元，乙品牌粽子每盒y元，根据“打折前，买6盒甲品牌粽子和3盒乙品牌粽子需600元；打折后，买50盒甲品牌粽子和40盒乙品牌粽子需要5200元”，即可得出关于x、y的二元一次方程组，解之即可得出结论；

（2）根据节省钱数=原价购买所需钱数﹣打折后购买所需钱数，即可求出节省的钱数．

【解答】解：（1）设打折前甲品牌粽子每盒x元，乙品牌粽子每盒y元， 根据题意得：解得：

．

，

答：打折前甲品牌粽子每盒40元，乙品牌粽子每盒120元．

（2）80×40+100×120﹣80×0.8×40﹣100×0.75×120=3640（元）． 答：打折后购买这批粽子比不打折节省了3640元．

24．（9.00分）如图，在△ABC中，AD是边BC上的中线，∠BAD=∠CAD，CE∥AD，CE交BA的延长线于点E，BC=8，AD=3． （1）求CE的长；

（2）求证：△ABC为等腰三角形．

（3）求△ABC的外接圆圆心P与内切圆圆心Q之间的距离．

【分析】（1）证明AD为△BCE的中位线得到CE=2AD=6； （2）通过证明△ABD≌△CAD得到AB=AC；

（3）如图，连接BP、BQ、CQ，先利用勾股定理计算出AB=5，设⊙P的半径为

2R，⊙Q的半径为r，在Rt△PBD中利用勾股定理得到（R﹣3）+42=R2，解得R=

，

则PD=，再利用面积法求出r=，即QD=，然后计算PD+QD即可． 【解答】（1）解：∵AD是边BC上的中线， ∴BD=CD， ∵CE∥AD，

∴AD为△BCE的中位线， ∴CE=2AD=6；

（2）证明：∵BD=CD，∠BAD=∠CAD，AD=AD， ∴△ABD≌△CAD， ∴AB=AC，

∴△ABC为等腰三角形． （3）如图，连接BP、BQ、CQ， 在Rt△ABD中，AB=

=5，

设⊙P的半径为R，⊙Q的半径为r， 在Rt△PBD中，（R﹣3）2+42=R2，解得R=∴PD=PA﹣AD=

﹣3=，

，

∵S△ABQ+S△BCQ+S△ACQ=S△ABC，

∴?r?5+?r?8+?r?5=?3?8，解得r=， 即QD=，

∴PQ=PD+QD=+=．

答：△ABC的外接圆圆心P与内切圆圆心Q之间的距离为．

25．（10.00分）如图，在平面直角坐标系xOy中，函数y=（m为常数，m＞1，x＞0）的图象经过点P（m，1）和Q（1，m），直线PQ与x轴，y轴分别交于C，D两点，点M（x，y）是该函数图象上的一个动点，过点M分别作x轴和y轴的垂线，垂足分别为A，B． （1）求∠OCD的度数；

（2）当m=3，1＜x＜3时，存在点M使得△OPM∽△OCP，求此时点M的坐标； （3）当m=5时，矩形OAMB与△OPQ的重叠部分的面积能否等于4.1？请说明你的理由．

【分析】（1）想办法证明OC=OD即可解决问题； （2）设M（a，），由△OPM∽△OCP，推出再分类求解即可解决问题；

（3）不存在分三种情形说明：①当1＜x＜5时，如图1中；②当x≤1时，如图2中；③当x≥5时，如图3中；

=

=

，由此构建方程求出a，

【解答】解：（1）设直线PQ的解析式为y=kx+b，则有解得

，

，

∴y=﹣x+m+!，

令x=0，得到y=m+1，∴D（0，m+1）， 令y+0，得到x=m+1，∴C（m+1，0）， ∴OC=OD， ∵∠COD=90°， ∴∠OCD=45°．

（2）设M（a，）， ∵△OPM∽△OCP， ∴

=

=

，

∴OP2=OC?OM，

当m=3时，P（3，1），C（4，0）， OP2=32+12=10，OC=4，OM=∴

=

，

，

，

∴10=4

∴4a4﹣25a2+36=0， （4a2﹣9）（a2﹣4）=0， ∴a=±，a=±2， ∵1＜a＜3， ∴a=或2，

当a=时，M（，2）， PM=

，CP=

，

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