《圆锥曲线》答案版(2)

（Ⅱ）直线AB与⊙P能否相切？证明你的结论． 解：（Ⅰ）设F、B、C的坐标分别为（－c，0），（0，b），（1，0），则FC、BC的中垂线分别为

1?c?x?,?1?cb11?2，y??(x?)．联立方程组，解出? x?2b?c2b22?y?.?2b?1?cb2?c（b－c）>0，∴ b>c． m?n???0，即b?bc?b2?c?0，即（1＋b）

22b从而b2?c2即有a2?2c2，∴e2?21．又e?0，∴0?e?．

22（Ⅱ）直线AB与⊙P不能相切．由kAB?b，kPBb2?cb?b2?c2b?＝．

1?cb(c?1)0?2b2?c如果直线AB与⊙P相切，则b·＝－1．

b(c?1)解出c＝0或2，与0＜c＜1矛盾，所以直线AB与⊙P不能相切．

7.有如下结论：“圆x2?y2?r2上一点P(x0,y0)处的切线方程为x0y?y0y?r2”，类比也

xxyyx2y2有结论：“椭圆2?2?1(a?b?0)上一点P(x0,y0)处的切线方程为02?02?1”，

ababx2?y2?1的右准线l上任意一点M引椭圆C的两条切线，切点为 A、B. 过椭圆C：4（1）求证：直线AB恒过一定点；（2）当点M在的纵坐标为1时，求△ABM的面积

xx43,t)(t?R),A(x1,y1),B(x2,y2),则MA的方程为1?y1y?1 3433∵点M在MA上∴x1?ty1?1 ① 同理可得x2?ty2?1②

333x?ty?1,即x?3(1?ty) 由①②知AB的方程为3易知右焦点F（3,0）满足③式，故AB恒过椭圆C的右焦点F（3,0）

【解】（1）设M(x2?y2?1,化简得7y?6y?1?0 （2）把AB的方程x?3(1?y)代入443||2336?28163?? 又M到AB的距离d?∴|AB|?1?3? 3771?3∴△ABM的面积S?1163 ?|AB|?d?22122x2y28.已知点P（4，4），圆C：(x?m)?y?5(m?3)与椭圆E：2?2?1(a?b?0)有一个公

ab共点A（3，1），F1、F2分别是椭圆的左、右焦点，直线PF1与圆C相切．

（Ⅰ）求m的值与椭圆E的方程；

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????????（Ⅱ）设Q为椭圆E上的一个动点，求AP?AQ的取值范围．

【解】（Ⅰ）点A代入圆C方程， 得(3?m)2?1?5．∵m＜3，∴m＝1． 圆C：(x?1)2?y2?5．设直线PF1的斜率为k， 则PF1：y?k(x?4)?4，即kx?y?4k?4?0． ∵直线PF1与圆C相切，∴|k?0?4k?4|k?12 yPAF2?5．

F1OCQx111解得k?,或k?．

22当k＝

11时，直线PF1与x轴的交点横坐标为236，不合题意，舍去． 11当k＝

1时，直线PF1与x轴的交点横坐标为－4，∴c＝4．F1（－4，0），F2（4，0）． 22

2

x2y2?1． 2a＝AF1＋AF2＝52?2?62，a?32，a＝18，b＝2．椭圆E的方程为：?182????????????????（Ⅱ）AP?(1,3)，设Q（x，y），A，AP?AQ?(x?3)?3(y?1)?x?3y?6． Q?x(?,3y?)1x2y2?1，即x2?(3y)2?18，而x2?(3y)2≥2|x|?|3y|，∴－18≤6xy≤18． ∵?182则(x?3y)2?x2?(3y)2?6xy?18?6xy的取值范围是[0，36]．x?3y的取值范围是[－6，6]． ????????∴AP?AQ?x?3y?6的取值范围是[－12，0]．

9.椭圆的对称中心在坐标原点，一个顶点为A(0,2)，右焦点F与点B(2,2)的距离为

2。

（1）求椭圆的方程；

（2）是否存在斜率k?0的直线l：y?kx?2，使直线l与椭圆相交于不同的两点M,N满

足|AM|?|AN|，若存在，求直线l的倾斜角?；若不存在，说明理由。

x2y2【解】（1）依题意，设椭圆方程为2?2?1(a?b?0)，则其右焦点坐标为

abF(c,0),c?a2?b2 ，由|FB|?2，得(c?2)2?(0?2)2?2，

即(c?2)2?2?4，解得c?22。

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22xy222??1。 又 ∵b?2 ，∴ a?c?b?12，即椭圆方程为124（2）由|AM|?|AN|知点A在线段MN的垂直平分线上，

?y?kx?2?由?x2消去y得x2?3(kx?2)2?12 即(1?3k2)x2?12kx?0 （*） y2?1???124由k?0，得方程（*）的??(?12k)2?144k2?0，即方程（*）有两个不相等的实数根。 设M(x1,y1)、N(x2,y2)，线段MN的中点P(x0,y0)， 则x1?x2?x1?x212k6kx??，， ?021?3k21?3k26k2?2(1?3k2)6k?2?2P(,) ?，即? y0?kx0?2?22221?3k1?3k1?3k1?3k?2?22?2?2(1?3k2)1?3k， ?k?0，∴直线AP的斜率为k1??6k6k1?3k2?2?2(1?3k2)?k??1， 由AP?MN，得

6k∴ 2?2?6k?6，解得：k??又0????，故 ??233，即tan???， 335??，∴ 存在直线l满足题意，其倾斜角??，或66?6，或????5?。 6x2y2610.椭圆方程为2?2?1(a?b?0)的一个顶点为A(0,2)，离心率e?。

3ab（1）求椭圆的方程；

（2）直线l：y?kx?2(k?0)与椭圆相交于不同的两点M,N满足

MP?PN,AP?MN?0，求k。

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?b?2?【解】（1）设c?a2?b2，依题意得?c?e??a?a?b?a3226 即??b?2?6a?9a?9b222

22xy22??1。 ∴ a?3b?12，即椭圆方程为124（2） ?MP?PN,AP?MN?0 ∴ AP?MN，且点P线段MN的中点，

?y?kx?2?2由?x消去y得x2?3(kx?2)2?12 即(1?3k2)x2?12kx?0 （*） y2?1???124由k?0，得方程（*）的??(?12k)2?144k2?0，显然方程（*）有两个不相等的实数根。 设M(x1,y1)、N(x2,y2)，线段MN的中点P(x0,y0)， 则x1?x2?x1?x212k6kx??， ?02221?3k1?3k6k2?2(1?3k2)6k?2?2P(,) ?∴ y0?kx0?2?，即22221?3k1?3k1?3k1?3k?2?22?2?2(1?3k2)1?3k， ?k?0，∴直线AP的斜率为k1??6k6k1?3k2?2?2(1?3k2)3?k??1， ∴ 2?2?6k2?6，解得：k??由MN?AP，得，

6k3y211.已知椭圆x?2?1(0?b?1)的左焦点为F，左右顶点分别为A,C上顶点为B，过F,B,C

b2三点作?P，其中圆心P的坐标为(m,n)．

(1) 若椭圆的离心率e?3，求?P的方程； 2（2）若?P的圆心在直线x?y?0上，求椭圆的方程．

【解】（1）当e?33时，∵a?1，∴c?， 22- 9 -

∴b?a?c?1?22231113?，b?，点B(0,),F(?,0)，C(1,0) 44222yB(0,b)设?P的方程为(x?m)2?(y?n)2?r2 由?P过点F,B,C得

122∴m?(?n)?r-----------------①

22xA(-1,0)F(-c,0)oC(1,0)(m?32)?n2?r2-----------------② 2(1?m)2?n2?r2-------------------③

52?31?232，n?，r?

444由①②③联立解得

m?∴所求的?P的方程为(x?2?321?2325)?(y?)? 444（2）∵?P过点F,B,C三点，∴圆心P既在FC的垂直平分线上，也在BC的垂直平分线上，

1?c1b--------④ ∵BC的中点为(,)，kBC??b 222b11∴BC的垂直平分线方程为y??(x?)-----⑤

2b2FC的垂直平分线方程为x?1?cb2?c1?cb2?c,n?,y?由④⑤得x?，即m? 22b22b1?cb2?c??0?(1?b)(b?c)?0 ∵P(m,n)在直线x?y?0上，∴22b22∵1?b?0 ∴b?c 由b?1?c得b?21 2∴椭圆的方程为x?2y?1

22x2y212.已知直线l:y?x?1与曲线C:2?2?1(a?0,b?0)交于不同的两点A,B，O为

ab坐标原点．

（Ⅰ）若|OA|?|OB|，求证：曲线C是一个圆；

（Ⅱ）若OA?OB，当a?b且a?[610,]时，求曲线C的离心率e的取值范围． 22- 10 -

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