《圆锥曲线》答案版(8)

解：（Ⅰ）由题知点P,F的坐标分别为(?1,m)，(1,0)，于是直线PF的斜率为?以直线PF的方程为y??m， 所2m(x?1)，即为mx?2y?m?0． 2?y2?4x,?（Ⅱ）设A,B两点的坐标分别为(x1,y1),(x2,y2)，由?得m?y??(x?1),?2m2x2?(2m2?16)x?m2?0，

2m2?164m2?16所以x1?x2?，x1x2?1．于是|AB|?x1?x2?2?． 22mm点D到直线mx?2y?m?0的距离d?2|m|m?42，所以

114(m2?4)2|m|4. S?|AB|d??41?22222mmm?4因为m?R且m?0，于是S?4，所以?DAB的面积S范围是(4,??)．

????????????????（Ⅲ）由（Ⅱ）及AF??FB，AP??PB，得

(1?x1,?y1)??(x2?1,y2)，(?1?x1,m?y1)??(x2?1,y2?m)，

于是??1?x1?1?x1，??（x2??1）.所以x2?1x2?1????1?x1?1?x12?2x1x2???0． x2?1x2?1(x2?1)(x2?1)所以???为定值0．

x2y2340.已知椭圆C1:2?2?1(a?b?0)的离心率为，直线l:y?x?2与以原点为圆心、

ab3以椭圆C1的短半轴长为半径的圆相切.

（I）求椭圆C1的方程；

（II）设椭圆C1的左焦点为F右焦点F2，直线l1过点F动直线l21，1且垂直于椭圆的长轴，

???????????? （III）设C2与x轴交于点Q，不同的两点R,S在C2上，且满足QR?RS?0,求QS的取

值范围.

垂直l1于点P，线段PF2垂直平分线交l2于点M，求点M的轨迹C2的方程；

- 36 -

3c2a2?b21222解：（Ⅰ）∵e? ,?e?2??,?2a?3b23ac3∵直线l:x?y?2?0与圆x2?y2?b2相切，∴

22?b,?b?2,b2?2 ∴

a2?3

x2y2??1 ∵椭圆C1的方程是 32（Ⅱ）∵MP=MF2，∴动点M到定直线l1:x??1的距离等于它到定点F1（1，0）的距离， ∴动点M的轨迹是C为l1准线，F2为焦点的抛物线 ∴点M的轨迹C2的方程为 y2?4x

22y12y2y12y2?y12,y1),S(,y2) ∴QR?(,y1),RS?(,y2?y1) （Ⅲ）Q（0，0），设R(44442y12(y2?y12)?y1(y2?y1)?0∵y1?y2,y1?0，化简得 ∵QR?RS?0 ∴

16

2561622∴y2??(y1?) ∴y2?y1?2?32?2256?32?64

y1y125622当且仅当 y1?2,y1?16,y1??4时等号成立

y12y21222∵|QS|?()2?y2?(y2?8)2?64，又?y2?64

442∴当y2?64,y2??8时，|QS|min?85，故|QS|的取值范围是[85,??)

241.已知以向量v?(1,)为方向向量的直线l过点(0,)，抛物线C：y?2px(p?0)的顶

1254点关于直线l的对称点在该抛物线的准线上． （1）求抛物线C的方程； （2）设A、B是抛物线C上的两个动点，过A作平行于x轴的直线m，直线OB与直线m交于点N，若OA?OB?p2?0（O为坐标原点，A、B异于点O），试求点N的轨迹方程。 解：（1）由题意可得直线l：y?由①、②得x??∴?15x? ① 过原点垂直于l的直线方程为y??2x ② 241 ∵抛物线的顶点（即原点）关于直线l的对称点在该抛物线的准线上。 2p1???2，p?2 ∴抛物线C的方程为y2?4x 222（2）设A(x1,y1)，B(x2,y2)，N(x,y)，由OA?OB?p?0，得x1x2?y1y2?4?0

又y1?4x1，y2?4x2，解得y1y2??8 ③ 直线ON：y?22y24x，即y?x ④ x2y2- 37 -

由③、④及y?y1，得点N的轨迹方程为x??2(y?0)

42.如图，设抛物线c1：y2?4mx（m?0）的准线与x轴交于F1，焦点为F2；以F1、F2为焦点，离心率e?1的椭圆c2与抛物线c1在x轴上方的一个交点为P. 2（Ⅰ）当m?1时，求椭圆的方程及其右准线的方程；

（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，直线l经过椭圆c2的右焦点F2，与抛物线c1交于A1、A2，如果以线段A1A2为直径作圆，试判断点P与圆的位置关系，并说明理由；

（Ⅲ）是否存在实数m，使得?PF1F2的边长是连续的自然数，若存在，求出这样的实数m；若不存在，请说明理由．

1， 2x2y2??1. ∴椭圆的长半轴的长a?2m，短半轴的长b?3m. 椭圆方程为

4m23m2x2y2??1， 右准线方程为：x?4. （Ⅰ）当m?1时，故椭圆方程为43?y2?4x?（Ⅱ）依题意设直线l的方程为：x?ky?1，k?R 联立?x2y2 得点P的坐标为

?1??3?4?226?. P??3,3????将x?ky?1代入y2?4x得y2?4ky?4?0.

解∵c1：y2?4mx的右焦点F2?m,0? ∴椭圆的半焦距c?m，又e?设A1?x1,y1?、A2?x2,y2?，由韦达定理得y1?y2?4k，y1y2??4. 又PA1??x1?,y1????????226?????226?，. PA?x?,y????222????33?33????????????242624PA1?PA2?x1x2??x1?x2???y1y2??y1?y2??39392

?6?24k????2522?24k?246k?11 ?????99?????????∵k?R，于是PA1?PA2的值可能小于零，等于零，大于零。即点P可在圆内，圆上或圆外. ?8′

?y2?4mx?226??2（Ⅲ）假设存在满足条件的实数m，由?x2解得：. Pm,m??y??3?2?2?1?3??4m3m7256∴PF2?m?m?m，PF1?4m?PF2?m，又F1F2?2m?m.

3333- 38 -

即?PF1F2的边长分别是m、m、m .∴m?3时，能使?PF1F2的边长是连续的自然数

536373x2y243.设椭圆C:2?2?1(a?b?0)的一个顶点与抛物线C:x2?43y的焦点重合，

ab1F1,F2分别是椭圆的左、右焦点，且离心率e??且过椭圆右焦点F2的直线l与椭圆C交于

2M、N两点.

(Ⅰ)求椭圆C的方程；

(Ⅱ)是否存在直线l，使得OM?ON??2.若存在，求出直线l的方程；若不存在，说明理由.

|AB|2(Ⅲ)若AB是椭圆C经过原点O的弦， MN//AB，求证：为定值．

|MN|c1解：椭圆的顶点为(0,3)，即b?3，e??，所以a?2，?椭圆的标准方程为

a2x2y2??1 43（2）由题可知,直线l与椭圆必相交.

①当直线斜率不存在时，经检验不合题意。

②设存在直线l为y?k(x?1)(k?0)，且M(x1,y1)，N(x2,y2).

?x2y2?1??由?4得(3?4k2)x2?8k2x?4k2?12?0， 3?y?k(x?1)?8k24k2?12x1?x2?，x1?x2?， 223?4k3?4kOM?ON?x1x2?y1y2?x1x2?k2[x1x2?(x1?x2)?1]

24k2?128k2?5k2?1224k?12?k(??1)???2 =

3?4k23?4k23?4k23?4k2所以k??2，故直线l的方程为y?2(x?1)或y??2(x?1) 7分 （3）设M(x1,y1),N(x2,y2),A(x3,y3),B(x4,y4)

2由（2）可得： |MN|=1?k|x1?x2|?(1?k2)[(x1?x2)2?4x1x2]

8k224k2?1212(k2?1) =(1?k)[( )?4()]?2223?4k3?4k3?4k2?x2y212?1??2x?由?4消去y，并整理得： ， 323?4k?y?kx?- 39 -

48(1?k2)2|AB|23(1?k2)23?4k??4 为定值 |AB|=1?k|x3?x4|?4， ∴

|MN|12(k2?1)3?4k23?4k2?44.设F是抛物线y?4mx(m?0)的焦点，过点M(－1，0)且以n???,1?为方向向量的直线

2顺次交抛物线于A,B两点。

????????2?（Ⅰ）当??2时，若FA与FB的夹角为，求抛物线的方程；

????1?????????（Ⅱ）若点A,B满足FA?(FM?FB)，证明m?2为定值，并求此时△AFB的面积

21解：（1）当??2时，直线AB的方程为y??x?1?，代入抛物线方程得：

212x2??2?16m?x?1?0，由???2?16m??4?0 且m?0,得m?

4设Ax1,y1,Bx2,y2，则x1?x2?16m?2,x1x2?1

2故y1y2?16mx1x2?4m， F?m,0? ， FA??x1?m,y1?,FB??x2?m,y2?,

3????FA?FB??15m2?6m?1， 又FAFB??x1?m??x2?m??17m2?2m?1

cosFA,FB?15m2?6m?12?1??cos??， 17m2?2m?1321,?m?1故抛物线方程为y2?4x 41（2）直线AB的方程为y??x?1?，代入抛物线方程得13m2?10m?3?0,m??x2?2?4m?2x?1?0,??2?4m?2?4?0,?m?0,?2?0,?m?2?1

11FM?FB,?A是线段MB的中点，故MB?2MA, 22122x?,x2?2,于是， 即?x2?1,y2???x1?1,y1?，y1?4mx代入得,y?4mx1122

25994m?2?2?x1?x2?,?m?2??1?m?2?，（定值）。

2881则S?AFB?S?MBF?S?MAF??m?1?2m

2????2x1?x2?4m?2?2， ?FA???45.已知点R(?3,0)，点P在y轴上，点Q在x轴的正半轴上，点M在直线PQ上，且满足

2PM??MQ?0,RP?PM?0.

（Ⅰ）当点P在y轴上移动时，求点M的轨迹C的方程；

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