《圆锥曲线》答案版(4)

x2y217.如图，F是椭圆2?2?1(a>b>0)的一个焦点，A,B是椭圆的

ab两个顶点，椭圆的离心率为

1．点C在x轴上，BC⊥BF，B，C，2F三点确定的圆M恰好与直线l1：x?3y?3?0相切． （Ⅰ）求椭圆的方程：

（Ⅱ）过点A的直线l2与圆M交于PQ两点，且

MP?MQ??2，求直线l2的方程．

【解】 (1)F(-c，0)，B(0,3a)，∵kBF=3，kBC=-

3，C(3c，0) 且3圆M的方程为(x-c)2+y2=4c2，圆M与直线l1：x+3u+3=0相切，

∴

1?c?3?0?31?3x2y2?2c，解得c=1，∴所求的椭圆方程为??1

43(2) 点A的坐标为(-2，0)，圆M的方程为(x-1)2+y2=4，

过点A斜率不存在的直线与圆不相交，设直线l2的方程为y=k(x+2)， ∵MP?MQ??2，又MP?MQ?2，∴cos=1??

2MP?MQMP?MQk?2k12?1，∴k=?∴∠PMQ=120°，圆心M到直线l2的距离d=r?1，所以 224k?1所求直线的方程为x×22y+2=0．

F为椭圆的右焦点，O为椭圆中心，18.如图，椭圆长轴端点为A,B，且AF?FB?1OF?1．

（1）求椭圆的标准方程；

（2）记椭圆的上顶点为M，直线l交椭圆于P,Q两点，问：是否存在直线l，使点F恰为?PQM的垂心？若存在，求出直线l的方程;若不存在，请说明理由. 【解】（1）如图建系，设椭圆方程为

x2y2?2?1(a?b?0),则c?1 2abAF?FB?1即 又∵

(a?c)?(a?c)?1?a2?c2

- 16 -

x2∴a?2 故椭圆方程为?y2?1

22 （2）假设存在直线l交椭圆于P,Q两点，且F恰为?PQM的垂心，则设

P(x)M(0,1),F(1,0)，故kPQ?1， 1,y1),Q(x2,y2，∵

于是设直线l为 y?x?m，由??y?x?m得 22x?2y?2?∵

3x2?4mx?2m2?2?0????????MP?FQ?0?x1(x2?1)?y2(y1?1)

又

yi?xi?m(i?1,2) 得

x1(x2?1)?(x2?m)(x1?m?1)?0 即

2x1x2?(x1?x2)(m?1)?m2?m?0 由韦达定理得 2m2?24m2??(m?1)?m2?m?0

33解得m??44或m?1（舍） 经检验m??符合条件 33y 319.如图，已知椭圆的中心在原点，焦点在x轴上，离心率为，且经过点M(4,1). 直线M 2l:y?x?m交椭圆于A,B两不同的点.

(1)求椭圆的方程;(2)求m的取值范围;(3)若直线l不过点M,求证:直线MA，MB与x轴围成一个等腰三角形.O B l x A 【解】

x2y23(1)设椭圆方程为2?2?1,因为e?,所以a2?4b2,ab2161

又椭圆过点M(4,1),所以2?2?1,解得b2?5,a2?20,ab22xy故椭圆方程为??1.205x2y2(2)将y?x?m代入??1并整理得5x2?8mx?4m2?20?0.

205??(8m)2?20(4m2?20)?0,得?5?m?5.- 17 -

(3)设直线MA,MB斜率分别为k1和k2,只要证k1?k2?0.8m4m2?20设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1?x2??,x1x2?. 55y?1y2?1(y1?1)(x2?4)?(y2?1)(x1?4)k1?k2?1??x1?4x2?4(x1?4)(x2?4)分子?(x1?m?1)(x2?4)?(x2?m?1)(x1?4)?2x1x2?(m?5)(x1?x2)?8(m?1)2(4m2?20)8m(m?5)???8(m?1)?0,55因此MA,MB与x轴所围的三角形为等腰三角形. 20.设F(1,0)，点M在x轴上，点P在 y轴上，且MN?2MP,PM?PF （1）当点P在y轴上运动时，求点N的轨迹C的方程；

（2）设A(x1,y1),B(x2,y2),D(x3,y3)是曲线C上的点，且|AF|,|BF|,|DF|成等差数列，当AD的垂直平分线与x轴交于点E(3,0)时，求B点坐标.

?????????y【解】 （1）设N(x,y)，则由MN?2MP得P为MN中点，所以M(?x,0),P(0,)

2?????????yy 又PM?PF得PM?PF?0，PM?(?x,?),PF?(1,?)，

22所以y2?4x（x?0）

（2）由（1）知F(1,0)为曲线C的焦点，由抛物线定义知，抛物线上任一点P0(x0,y0)到F

的距离等于其到准线的距离，即|P0F|?x0?p2，所以

|AF|?x1?ppp,|BF|?x2?,|DF|?x3?， 222根据|AF|,|BF|,|DF|成等差数列，得x1?x3?2x2， 直线AD的斜率为

y3?y1y?y14?23?， 2x3?x1y?yy3y13?144y1?y3(x?3)， 4所以AD中垂线方程为y??又AD中点(所以点B(1,?2).

x1?x3y1?y3x?x,)在直线上，代入上式得13?1，即x2?1，

222????????????????21.已知点B??1,0?,C?1,0?,P是平面上一动点，且满足|PC|?|BC|?PB?CB

- 18 -

（1）求点P的轨迹C对应的方程；

（2）已知点A(m,2)在曲线C上，过点A作曲线C的两条弦AD和AE，且AD?AE，判

断：直线DE是否过定点？试证明你的结论.

【解】（1）设P(x,y)代入|PC|?|BC|?PB?CB得(x?1)2?y2?1?x,化简得y2?4x. （5分）

(2)将A(m,2)代入y2?4x得m?1,?点A的坐标为(1,2). （6分） 设直线DE的方程为x?my?t代入y2?4x,得y2?4mt?4t?0,

（9分） 设D(x1,y1),E(x2,y2)则y1?y2?4m,y1?y2??4t，??（?4m)2?16t?（0*）?AD?AE?(x1?1)(x2?1)?(y1?2)(y2?2)?x1x2?(x1?x2)?1?y1?y2?2(y1?y2)?4

22y12y2y12y2???(?)?y1?y2?2(y1?y2)?5 4444(y1?y2)2(y1?y2)2?2y1?y2???y1?y2?2(y1?y2)?5

164(?4t)2(4m)2?2(?4t)???(?4t)?2(4m)?5?0化简得t2?6t?5?4m2?8m（11分）

1642即t2?6t?9?4m2?8m?4即（t?3）?4(m?1)2?t?3??2(m?1) ?t?2m?5或t??2m?1,代入（*）式检验均满足??0 （13分） ?直线DE的方程为x?m(y?2)?5或x?m(y?2)?1 ?直线DE过定点(5,?2).（定点（1，2）不满足题意） (15分)

22.已知椭圆E的中心在坐标原点，焦点在坐标轴上，且经过A(?2,0)、B(2,0)、C?1,?三点．

（1）求椭圆E的方程：

（2）若点D为椭圆E上不同于A、B的任意一点，F(?1,0),H(1,0)，当?DFH内切圆的面积最大时。求内切圆圆心的坐标；

（3）若直线l:y?k(x?1)(k?0)与椭圆E交于M、N两点，证明直线AM与直线BN的交点在直线x?4上．

【解】 （1）设椭圆方程为mx?my?1(m?0,n?0),

将A(?2,0)、B(2,0)、C(1,)代入椭圆E的方程，得

22?3??2?32?4m?1,11x2y2???1 解得m?,n?. ∴椭圆E的方程?94343m?n?1??4（2）|FH|?2，设?DFH边上的高为S?DFH?

1?2?h?h 2- 19 -

当点D在椭圆的上顶点时，h最大为3，所以S?DFH的最大值为3．

设?DFH的内切圆的半径为R，因为?DFH的周长为定值6．所以

1R?6?S?DFH， 2

所以R的最大值为33．所以内切圆圆心的坐标为(0,) 33x2y2??1并整理． （3）法一：将直线l:y?k(x?1)代入椭圆E的方程43得(3?4k2)x2?8k2x?4(k2?3)?0． 设直线l与椭圆E的交点M(x1,y1),N(x2,y2)，

14(k2?3),x1x2?由根系数的关系，得x1?x2?．

3?4k23?4k2直线AM的方程为：y?y1(x?2)，它与直线x?4的交点坐标为 x1?2p(4,6y12y2),同理可求得直线BN与直线x?4的交点坐标为Q(4,)． x1?2x2?2下面证明P、Q两点重合，即证明P、Q两点的纵坐标相等：

?y1?k(x1?1),y2?k(x2?1)，

?6y12y26k(x1?1)?(x2?2)?2k(x2?1)(x1?2) ??x1?2x2?2(x1?2)(x2?2)?8(k2?3)40k2?2k???8?3?4k23?4k22k[2x1x2?5(x1?x2)?8]???0

??(x1?2)(x2?2)(x1?2)(x2?2)因此结论成立．

综上可知．直线AM与直线BN的交点住直线x?4上．

法二：直线AM的方程为：y?

（16分）

y1k(x1?1)(x?2),即y?(x?2) x1?2x1?2y2k(x2?1)(x?2)，即y?(x?2) x2?2x2?2由直线AM的方程为：y?- 20 -

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