《圆锥曲线》答案版(3)

【解】（Ⅰ）证明：设直线l与曲线C的交点为A(x1,y1),B(x2,y2)

2222?|OA|?|OB| ∴x1?y1?x2?y2 即：x1?y1?x2?y2

2222∴x1?x2?y2?y1 ?A,B在C上

2222xyxy∴12?12?1，22?22?1

abab∴两式相减得：x1?x2∴曲线C是一个圆

（Ⅱ）设直线l与曲线C的交点为A(x1,y1),B(x2,y2)，?a?b?0

∴曲线C是焦点在x轴上的椭圆 ?OA?OB ∴

222222a2a222?2(y2?y1) ∴2?1 即：a2?b2 bby1y2???1 即：y1y2??x1x2 x1x2将y?x?1代入b2x2?a2y2?a2b2?0整理得：

(b2?a2)x2?2a2x?a2?a2b2?0

2a2a2(1?b2)∴x1?x2??2，x1?x2? 2a?ba2?b2?A,B在l上 ∴y1?y2?(x1?1)(x2?1)?x1?x2?x1?x2?1

又?y1y2??x1x2 ∴2x1?x2?x1?x2?1?0

a2(1?b2)2a22222?(?)?1?0a?b?2ab?0 ∴2? ∴2222a?ba?b222222 ∴a?a?c?2a(a?c)?0 ∴2a?2a?c?2ac?0

422222a2(a2?1)c22(a2?1)12e???1? ∴c? ∴

2a2?1a22a2?12a2?12?a?[11361023?[,] e?[,] ∴2a2?1?[2,4] ∴1?2,]

2a?1242222x2y2?1(a?0)的左、右焦点分别为F1、F2，A是椭圆C上的一点，且13.设椭圆C:2?a2- 11 -

1|OF1|． 的距离为AF2?F1F2?0，坐标原点O到直线AF13（1）求椭圆C的方程；

（2）设Q是椭圆C上的一点，过Q的直线l交x轴于点P(?1,0)，较y轴于点M，若

MQ?2QP，求直线l的方程．

【解】（1）由题设知F1(?a2?2,0),F2(a2?2,0)

由于AF2?F1F2?0，则有AF2?F1F2，所以点A的坐标为(a?2,?故AF1所在直线方程为y??(22)， a1?)，

aa2?2axa2?2所以坐标原点O到直线AF(a?2)， 1的距离为2a?1a2?21又|OF1|?a?2，所以?a2?132a2?2，解得a?2(a?2)，

x2y2??1． 所求椭圆的方程为42（2）由题意知直线l的斜率存在，设直线l的方程为y?k(x?1)，则有M(0,k)， 设Q(x1,y1)，由于MQ?2QP，∴(x1,y1?k)?2(?1?x1,?y1)，解得

2kx1??,y1?

332k(?)2()23?3?1，解得k??4， 故直线l的方程为y?4(x?1)又Q在椭圆C上，得

42或y??4(x?1)， 即4x?y?4?0或4x?y?4?0．

14.已知抛物线的顶点在原点，焦点在y轴的负半轴上，过其上一点P(x0,y0)(x0?0)的切线方程为y?y0?2ax0(x?x0)(a为常数）. （I）求抛物线方程；

（II）斜率为k1的直线PA与抛物线的另一交点为A，斜率为k2的直线PB与抛物线的另一

交点为B（A、B两点不同），且满足k2??k1?0(??0,???1),若BM??MA，

求证线段PM的中点在y轴上；

（III）在（II）的条件下，当??1,k1?0时，若P的坐标为（1，－1），求∠PAB为钝角时

点A的纵坐标的取值范围.

【解】（I）由题意可设抛物线的方程为x??2py(p?0),

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2

∵过点p(x0,y0)(x0?0)的切线方程为y?y0?2ax0(x?x0), ?y?|x?x0??抛物线的方程为y?ax2(a?0). ?p??1. ∴

2a （II）直线PA的方程为y?y0?k1(x?x0),

2?y?ax, ? ?ax2?k1x?k1x0?y0?0,(x?0x).0?k1?y?yx0?2ax0, p?xA?x0?k1k,xA?1?x0. aak2?k1 x?k2???k1,Bx???.?x0. ?k2??k1?0,0aa????????? 又 BM??MA(??0,???1),

?xA?xB ?xM?xB??(xA?xM),xM?线段PM的中点在y轴上. ??x0. ∴

1?? （III）由??1,P(1,?1),可知a??1. ?A(?k1?1,?(k1?1)2),B(k1?1,?(k1?1)2).

????????2 ∠PAB为钝角，且P, A, B不共线, ????AP(2k1). ∵???????k1,k1?2k1),AB?(2k1,4 ?AP?AB?0. 即(2?k1)?2k1?(k12?2k1)?4k1?0.

同理,可得xB?

?k1(2k12?5k1?2)?0.21?k1?0,?2k?5k1?2?0.?k1??2,或?1?k1?0.

2又∵点A的纵坐标yA??(k1?1)2, ∴当k1??2时，yA??1； 当?1?k1?0时,?1?yA??1.

24∴∠PAB为钝角时点A的坐标的取值范围为(??,?1)?(?1,?1).

415.已知动点A、B分别在x轴、y轴上，且满足|AB|=2，点P在线段AB上，且 AP?tPB(t是不为零的常数).设点P的轨迹方程为c。

（1）求点P的轨迹方程C；

（2）若t=2，点M、N是C上关于原点对称的两个动点（M、N不在坐标轴上），点Q

坐标为(,3),求△QMN的面积S的最大值。

【解】（1）设A(a,0),B(0,b),P(x,y)

32?AP?tPB,即(x?a,y)?t(?x,b?y)????2分?a?(1?t)x?x?a??tx???则?1?t,由题意知t?0,y?t(b?y)b??y??t? 1?t222222?|AB|?2?a?b?4即(1?t)x?()y?4tx2y2?点P轨迹方程C为:??1????4分244t(1?t)2(1?t)2- 13 -

9x292?y?1 （2）t=2时，C为416设M(x1,y1),则N?(?x1,?y1),则MN?2x12?y12.设直线MN的方程为y?y1x,(x1?0)x1点Q到MN距离为3|y1?3x1|h?2????7分22x1?y1?S?QMN3y1?3x1|1322??2x1?y1?2?|y1?3x1|????8分22x12?y12|92y1?9x1y14

22?S?QMN?9x1?9x129y129又??1?9x12?y12?441642?S?QMN?4?9x1y19x129y123x3y9xy而1????2?1?1??11416244??9x2y1?4????11分3x3y1当且仅当1?1,即x1??y1时,等号成立242?S?QMN的最大值为22????12分y2x216.设A(x1,y1),B(x2,y2)是椭圆2?2?1(a?b?0)上的两点，

abxyxy??3??已知m?(1,1)，n?(2,2)，若m?n?0且椭圆的离心率e?,短轴长为2，O为

baba2坐标原点.

(Ⅰ)求椭圆的方程；

（Ⅱ）若直线AB过椭圆的焦点F（0，c），（c为半焦距），求直线AB的斜率k的值；

（Ⅲ）试问：△AOB的面积是否为定值？如果是，请给予证明；如果不是，请说明理由

ca2?b23y2?x2?1 ??a?2,c?3椭圆的方程为解：（Ⅰ）2b?2.b?1,e??4aa2 （Ⅱ）由题意，设AB的方程为y?kx?3

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?y?kx?3?2?(k2?4)x2?23kx?1?0.................4分 ?y2??x?1?4x1?x2??23k?1,xx?. .................5分 1222k?4k?4

由已知m?n?0得：

x1x2y1y21??xx?(kx1?3)(kx2?3)12b2a24?(1?k3k3)x1x2?(x1?x2)? .................6分 4442

k2?413k?23k3?(?2)??2??0,解得k??2

4k?44k?44(Ⅲ) （1）当直线AB斜率不存在时，即x1?x2,y1??y2,由m?n?0得

y12x??0?y12?4x12

4214x122又 A(x1,y1)在椭圆上，所以x??1?x1?,y1?2

4221s?11x1y1?y2?x12y1?1 22所以三角形的面积为定值

（2）.当直线AB斜率存在时：设AB的方程为y=kx+b

?y?kx?b?2kb?2222 ?(k?4)x?2kbx?b?4?0得到x?x??y1222k?4??x?1?4b2?4x1x2?2

k?4x1x2?y1y2(kx?b)(kx2?b)?0?x1x2?1?0代入整理得:2b2?k2?4 441b1|b|4k2?4b2?162 S?AB?|b|(x1?x2)?4x1x2?2221?k2k?44b2??1所以三角形的面积为定值. 2|b|

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