《概率论与数理统计》复习题及答案(3)

?100/x2,x?100 f(x)??otherwise?0,（1）试求一个电子管使用150小时不用更换的概率；

（2）某一电子设备中配有10个这样的电子管，电子管能否正常工作相互独立，设随机变量Y表示10个电子管中使用150小时不用更换的个数，求Y的分布律； （3）求P?Y?1?。

解：（1）设电子管的寿命为随机变量X，P(X?150)????150f(x)dx??1002dx? 150x23??（2）设10个电子管中使用150小时不用更换的个数为随机变量Y，则依

2k2k110?k()(),k?0,1,2,......,10。 题意，Y?B(10,)，P(Y?k)?C103331（3）P?Y?1??1?P?Y?0??1?10。

3

8. 某人有9把钥匙，其中只有一把能打开一门。今任取一把试开，不能打开者除去，求打开此门所需要试开次数（记为随机变量X）的数学期望和方差。 解：设X打开门的次数，X可能取值为1,2,3,?,9。

19

811P(X?2)???

9898711P(X?3)????

9879? P(X?1)?8711P(X?9)??????

9819?X123?9?1111?，于是 所以，???P?9999??11111EX?1??2????9??(1???9)??45??5，

99999111195EX2?12??22????92??(12???92)??，

99993DX?EX2?(EX)2?95220?5?。 33

?a?bx,0?x?19. 设随机变量X的概率密度为f(x)??，EX?0.6；

0,otherwise?试求：（1）常数a,b；（2）DX；（3）设Y?eX，求EY。 解：（1）?????f(x)dx??(a?bx)dx?(ax?01 EX??????x(f)xd?x?10b21bx)0?a??1； 22a2b31ab(x?a)bx?dx(?x0)?x??23230.6；

于是，a?0.4,b?1.2。 （2）EX2??????x2f(x)dx??x2(a?bx)dx?(010.431.24x?x)3410?2365??， 1510150DX?EX2?(EX)2???6511?(0.6)2?。 15015010（3）EY??exf(x)dx??ex(0.4?1.2x)dx?0.4(e?2)。

??

10．某地抽样调查结果表明，考生的外语成绩（百分制）近似服从正态分布，平均成绩72分，96分以上的考生占考生总数的2.3%，试求考生的外语成绩在60-84分之间的概率。 附表：

x ?(x) 0 0.500 0.5 0.629 1.0 0.841 1.5 0.933 2.0 0.977 2.5 0.994 3.0 0.999 解：设考生外语成绩X~N(?,?2),x?72

P(X?96)?1?P(X?96)?1??(P(60?X?84)??(96?72?)?1??(24?)?0.023??(24?)?0.977???1284?7260?72)??()??(1)??(?1)?2?(1)?1?0.682。 1212

?1x211.若随机变量 X的密度函数fX(x)???0x?1，求Y?X?1的密度函数fY(y)。x?1y?0y?0?P(X?1?y2)解：随机变量 Y 的分布函数：FY(y)?P(Y?y)?P(X?1?y)??0??P(X?1?y2)y?0??y?00?1?y21?y2因当 y?0 时，P(X?1?y)??y2?所以 FY(y)??1?y2?0?y?0y?02???fX(x)dx??111y2dx?1??22x1?y1?y2?2y?随机变量 Y 的密度函数：fY(y)?FY'(y)???(1?y2)2?0?y?0y?0

12. 口袋里有2个白球，3个黑球。现不放回地依次摸出2球，并设随机变量

?1第一次摸出白球?1第二次摸出白球X??， Y??。

0第一次摸出黑球??0第二次摸出黑球 试求：（1）?X,Y?的联合分布律； （2）X和Y的边缘分布律；

（3）问X,Y是否独立？ （4）D?2X?1?。

解：（1）联合分布为：

X Y 0 3 103 101 3 101 100 1 ?X（2）???pi?

0351??Y??2?，???pj5??0351??2? ?5?（3）P(X?0,Y?0)?P(X?0)P(Y?0)，所以X与Y不独立。

22624（4）EX?,EX2?,DX?。D(2X?1)?4DX?。

552525

13．设随机变量X，Y相互独立，且等可能的取1，2，3为值，定义随机变量

（U,V)的联合分布律；(2)U,V是否（1）U=max?X,Y?,V?min?X,Y?，试求：

相互独立？

解：（1）因为X、Y独立，依题意X、Y的联合分布为

X Y 1 2 3 1 1/9 1/9 1/9 2 1/9 1/9 1/9 3 1/9 1/9 1/9 又因为U=max?X,Y?,V?min?X,Y?，则

U V 1 2 3 这里

1/9 2/9 2/9 0 1/9 2/9 0 0 1/9 1 2 3 P(U?1,V?1)?P(X?1,Y?1)?1/9P(U?1,V?2)?P(?)?0其余同理可得。

P(U?2,V?1)?P(X?2,Y?1)?P(X?1,Y?2)?2/9?P(U?1)?1/9,P(V?2)?3/9,P(U?1,V?2)?0（2）?P(U?1,V?2)?P(U?1)P(V?2)。

?U,V不独立。

14，设二维随机变量(X,Y)的联合分布为:

X Y 0 1 2 0 1/4 0 1/12 1 1/12 1/6 0 2 a 1/4 1/6 求（1）a； （2）Z = max{X,Y} 的概率分布； （3）E(max{X,Y}) ；D(max{X,Y})。

解：（1）a = 1-(1/4 + 1/12 + 1/6 + 1/4 + 1/12 + 1/6) = 0 （2）

Z P 0 0.25 1 0.25 2 0.5

（3）EZ = 1.25；DZ = 0.6875

15. 设同时独立地掷一枚硬币和一颗骰子两次，用X表示两次中硬币出现的正面次数，用Y表示两次骰子点数不超过4的次数。（1）求X,Y的联合分布。（2）求X?Y的和分布。（3）P(X?Y?1)

解：设X可能取值为0，1，2；Y可能取值为0，1，2.于是，

?X0?1?P?4112?Y02??1， ?1?P?4??9149 2?4?. 由于X与Y相互独立，所以联合分布为 ?9? 1 2 Y 0

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