《概率论与数理统计》复习题及答案(4)

X 0 1 2

1 361 181 92 91 92 91 361 91 9?X?Y01234?111?1613124?，P(X?Y?1)???。 和分布为：

?P?18963636363636??

?21?x?xy,16. 设随机变量(X,Y)的概率密度为f(x,y)??3??0,试求：（1）(X,Y)的边缘概率密度；（2）P(X?Y?1)。 解：

??0?x?1,0?y?2otherwise，

（1）fX(x)????1222?22122??0(x?xy)dy?(xy?xy)0?2x?x,0?x?1 f(x,y)dy??363?otherwise?0,fY(y)???????1211312111(x?xy)dx?(x?xy)??y,?0y?2?f(xy,dx)???0 336360?0,otherwise?121112(x2?xy)dy??(x2y?xy2)1?xdx01?x0（2） 3614154154165??(x2?x?x3)dx?(x3?x2?x)0?。 0326942475P(X?Y?1)??dx?

17. 设随机变量(X,Y)在区域D??(x,y)0?x?2,?1?y?2?上服从均匀分布，

试求：（1）随机变量(X,Y)的概率密度函数；（2）P(X?Y)。 解：（1）因为服从均匀分布，所以其联合密度函数为

?1,?1y?2?,0?x?2? f(x,y)??6。

??0,其它（2）P(X?Y)???f(x,y)dxdy??dx?D022x11dy?。 63

18. 设二维随机变量(X,Y)的概率为

?e?y,0?x?yf(x,y)??

?0,其他（1）求(X,Y)的两个边缘密度；（2）判断(X,Y)是否相互独立； （3）求P(X?Y?2)； （4）求X的分布函数。

?e?y解：（1）f(x,y)???0fX?x???fY?y?????,0?x?y,其它

?????????y?x???xedyx?0?ef?x,y?dy?????其他?0?0y?y?y???0edxy?0?yef?x,y?dx?????其他?0?0x?0其他

y?0其他

（2）?fX?x?fY?y??f(x,y)，?X与Y不独立； （3）P（X?Y?2）??（4）

10??x?2xe?ydydx?1?2e?1?e?2

FX(x)??

x??x?x?x???0edxx?0?1?e,x?0。 fX(x)dx????x?0?0,?x?0?0,19. 设二维随机变量(X,Y)具有概率密度

?Ae?(2x?3y),x?0,y?0, f(x,y)??otherwise.?0,（1）求常数A；（2）求联合分布函数F(x,y)；（3）求边缘密度；并问X,Y是否独立？（4）求P(?1?X?1,?2?Y?2)。 解：（1）由于???0?????0????f(x,y)dxdy

??0?????1Ae?(2x?3y)dxdy?A(?e?2x)21(?e?3y)3??0?xA?1，得A?6。 6y（2）当x?0或y?0时，因为f(x,y)?0，所以，F(x,y)??当x?0,y?0时，

????? f(x,y)dxdy?0。

F(x,y)??x?????yf(x,y)dxdy??x0?y06e?(2x?3y)dxdy?(1?e?2x)(1?e?3y)；

?(1?e?2x)(1?e?3y),x?0,y?0所以，F(x,y)??。

其它?0,（3）边缘密度函数为：

fX(x)??fY(y)?????????????(2x?3y)?dy?2e?2x,x?0??06e； f(x,y)dy???x?0?0,???(2x?3y)?dx?3e?3y,y?0??06e； f(x,y)dx???y?0?0, 由于fX(x)?fY(y)?f(x,y)，所以X,Y独立。

（4）P(?1?X?1,?2?Y?2)?F(1,2)?F(?1,2)?F(1,?2)?F(?1,?2) ?F(1,2)?(1?e?2)(1?e?6)。

?2x?3y?2x1?3yP(?1?X?1,?2?Y?2)?6edxedy?e?e0??或

001220?(1?e?2)(1?e?6)。

20．设随机变量相互独立，X服从（0，1）均匀分布，Y服从参数为1的指数分布，试求：

（1）随机变量X+Y的分布的密度函数；

（2）E(X+Y)。

?e?x,x?0?1,0?x?1解：（1）因为fX(x)??， ，fY(y)???0,其它?0,x?0又因为fZ(z)??????fX(x)fY(z?x)dx

?0?x?1又因为?，则

?z?x?0z?0时，fZ(z)=00?z?1时，fZ(z)=?1?e?(z?x)dx?1?e?z0z

1?z时，fZ(z)=?1?e?(z?x)dx?e1?z?e?z?e?z(e?1)01z?0?0,?fZ(z)??1?e?z,0?z?1

?e?z(e?1),1?z?（2）因为

因为X服从均匀分布，所以EX?1/2,因为Y服从指数分布，所以EY?1 故E(X?Y)?E(X）+E(Y）=3/2。

21. 设随机变量(X,Y)具有概率密度

?1?(x?y),0?x?2,0?y?2 f(x,y)??8?,otherwise?0求：（1）E(X)（2）D(X?Y) 解：（1）E?X????????????xf(x,y)dxdy??dx?0220x7(x?y)dy?； 86因为D(X?Y)?E(X?Y)2?(E(X?Y))2777这里，由于X与Y的对称性，故E?Y??，E?X?Y???2?663（2） ????22(x?y)2又因E?X+Y????(x?y)2f(xy)dxdy??dx?(x?y)2dy?6????008725所以D(X?Y)?6?（）=?0.5639

22. 设X1和X2分别为取自总体X的容量为n1和n2的两个样本的样本均值。求证：对任意实数a?0,b?0,a?b?1，估计量Y?aX1?bX2是EX的无偏估计，并求a,b使所得估计量最有效。

证：E?Y??aEX1?bEX2?aEX?bEX?EX，

????D?Y??a2DX1?b2DX2????n1?a??n1?n2?ab??时????DX，在a?b?1条件下，?nnn2?12??b??n1?n2?D?Y?有最小值。

?X23. 设总体X的概率密度列??P0p212p(1?p)23??

p21?2p?1其中p(0?p?)是未知参数，得到总体X的样本值：1，3，0，2，3，3，1，

23，

（1）求参数p的矩估计值；（2）求参数p的最大似然估计值 。

p?解：（1）EX?2p(1?p)?2p2?3(1?2p)?3?4p?X；??118p?为矩估计值。 x??xi?2，得?48i?13?X为矩估计量，4（2）L(p)?P(X?0){P(X?1)}2P(X?2){P(X?3)}4?4p6(1?p)2(1?2p)4；

lnL(p)?ln4?6lnp?2ln(1?p)?4ln(1?2p)，

{lnL(p)}??628???0?12p2?14p?3?0； p1?p1?2pp?17?137?137?13p??0.2828。，因为0?p?，所以p?舍去，所以?

2121212

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