《概率论与数理统计》复习题及答案(5)

??x??1,0?x?124. 设总体X的概率密度为f(x,?)??，其中??0的未知参数，

otherwise?0,（1）求参数?的矩估计量；（2）求参数?的X1,X2,?Xn是来自总体的一个样本，最大似然估计量 。

解：（1）EX??xf(x)dx??x?x??1dx???0??1???1?X，

于是未知参数?的矩估计量为??n?X。 1?X??1（2）构造似然函数L(?)??f(x,?)??x1i?1??x2??1???xn??1??n(x1?xn)??1；

取对数：lnL(?)?nln??(??1)ln(x1?xn)?nln??(??1)?lnxi；

i?1ndlnL(?)nn???令???lnxi?0??d??i?1n?lnxi?1n，

i即未知参数?的最大似然估计值为????n?lnxi?1n。

i

25．设总体X服从正态分布N(?,?2)，X1，X2，X3，...，Xn为其样本，试求： （1）?,?2的矩估计量；

（2）若?2=4，n多大时方能使?的90%的置信区间的长度不超过1？(?0.05?1.65)

解：（1）由矩估计法知

??X?EX?X???X?????n?1?21n2??2?21n2222 ?EX?X????X??X?X???iii???ni?1ni?1ni?1???（2）记关于?的置信区间长度为L

L?(X?u?2?n）—(X?u?2?n）=2u?2?n 当?=0.1时，

L?2?1.65?2?1?n?(2?2?1.65)2,即n?44。 n

26．某大学数学测验，抽得20个学生的平均分数为x?72，样本方差s2?16， 假设分数X服从正态分布N(?,?2)，求?2的置信度为98%的置信区间。（保留到小数后四位）

（附：?20.01(19)?36.191,?20.99(19)?7.633） 解：由题意，?2的置信度为98%的置信区间为：

???(n?1)s2(n?1)s2??19?1619?16??。 ,2,,39.8271?2??????8.3999???(n?1)?1??(n?1)??36.1917.633?2?2?

27. 要求一种元件的使用寿命为1000小时。今从一批这种元件中随机抽取25件，测得其寿命的平均值为950小时。已知该种元件寿命服从标准差??100小时的正态分布，试在显著性水平??0.05下确定这批元件是否合格？ （附：

u??1.96）

2解：假设H0：??1000，H1：??1000；n?25,x?950,??100,?0?1000；

统计量：U?X??0?/n~N?0,1?，u?x??0950?1000??2.5?1.96,

?/n100/25所以，拒绝H0，即认为这批元件不合格。

28. 正常人的脉搏平均为72次/分。某医生测得10例慢性铅中毒患者的脉搏均值为67.4次/分，标准差为5.929。设人的脉搏次数/分近似服从正态分布。 (1) 取? =0.05，是否可以认为铅中毒患者的脉搏均值为72次/分。 (2) 求铅中毒患者脉搏均值的0.95的置信区间。 （附：u??u0.025?1.96,t0.025(9)?2.2622,t0.025(10)?2.2281）

2解：（1）假设H0:??72；H1:??72;?2末知，T?X??0~t(n?1)

S/n ??0.05,x?67.4,n?10,s?5.929，t?(n?1)?t0.025(9)?2.2622

2 t?x??067.4?72??2.453?4s/n5.929/102.262 2，

所以，t?t?(n?1)，故拒绝假设，即认为铅中毒患者的脉搏均值不是72次/分。

2（2）S?5.929，??0.05,x?67.4,n?10,t?(n?1)?t0.025(9)?2.2622；?2末知

2 对于给定置信度1???0.95，?的置信区间为：

?ss??5.9295.929?x?tn?1?,x?tn?1??67.4?2.2622?,67.4?2.2622???????????nn1010???22?=（63.16 , 71.64)，所以,置信度0.95的置信区间为（63.16 , 71.64)。

29. 某仪器的测量误差服从N(0,?2)分布， （1）试求关于?2的极大似然估计量；

（2）由于长期的使用，使用者发现该仪器在测量时已经产生了系统误差，但不

知道误差的波动性有无改变，以往的经验值?2=2，现记录了仪器的5个测量误差值分别为：3，-5，3，-2，2。请问该仪器误差的波动性较以往有显著变化吗？（??0.05）

查表：?20.025（4）?11.143,?20.975(4)?0.484；提示：请保留到小数后两位。 解：（1）X~f(x)??2211n?e2?，L(?2)??f(xi,?2)?()ei?12? 2??2??i?1x2nn?xi2nn1n22lnL?????ln(2?)?ln(?)?2?xi

222?i?12?lnL(?2)n1n21n22???xi 令?0??2?4?xi?0??2??2?2?i?1ni?1（2）建立假设：H0:?2??02?2,H1:?2?2

n?1?S2?统计量：??~?2?n?1?，?2??n?1??0.484,?2??n?1??11.143 21?2?022??拒绝域：W???2??2??n?1?or?2??2??n?1??????,0.484???11.143,???

1??22?x?0.2,s?12.7,2n?1?s2????25.4?W 22?0拒绝原假设，所以认为该仪器的测量误差的波动性较以往有显著的变化。

30. 某元件的使用寿命X?N??,?2?，抽取了一个容量为25的样本，测得:x?73.25,s?10.32。

（1）能否认为使用寿命X的标准差??9（显著水平??0.05）； （2）根据（1）的结论给出平均寿命?置信度为95%的置信区间。

2n?1S??解：（1）H0:?2?92,H1:?2?92，?2?~?2?n?1?， 2?024?10.322?31.56，接受H0。 ?0.025（24）?39.364,?0.975(24)?12.401，??92222（2） 根据（1），??9已知，所以?的置信度为95%的置信区间为：

(x????2?n)?(73.25?1.96?9)?(69.722,76.788)。 25

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