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广东省深圳市石岩公学2015届高三上学期12月统测数学试卷（文科）
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，满分50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．请在答题卡上填涂相应选项. 1．（5分）设全集U={1，2，3，4，5}，集合A={2，3，4}，B={2，5}，则B∪（?UA）=（） A． {5} B． {1，2，5} C． {1，2，3，4，5} D． ? 2．（5分）已知i是虚数单位，a，b∈R，且（a+i）i=b﹣2i，则a+b=（） A． 1 B． ﹣1 C． ﹣2 D． ﹣3 3．（5分）已知α为锐角，且tan（π﹣α）+3=0，则sinα的值是（） A．
B．
C．
D．
2
4．（5分）若a，b，c成等比数列，则函数f（x）=ax+bx+c与x轴的交点个数是（） A． 0 B． 1 C． 2 D． 不确定的
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5．（5分）已知命题P1：?x0∈R，x0+x0+1＜0；P2：?x∈[1，2]，x﹣1≥0．以下命题为真命题的是（） A． ￢P1∧￢P2 B． P1∨￢P2 C． ￢P1∧P2 D． P1∧P2 6．（5分）下列函数中，在其定义域中，既是奇函数又是减函数的是（） A．
B． f（x）=2﹣2
﹣x
x
C． f（x）=﹣tanx D．
7．（5分）若某空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积是（）
A． 60
B． 54
C． 48 D． 24
8．（5分）已知变量x，y满足，则z=3x+y的最大值为（）
A． 4
B． 5 C． 6 D． 7
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9．（5分）如图中，x1，x2，x3为某次考试三个评阅人对同一道题的独立评分，p为该题的最终得分，当x1=6，x2=9，p=9.5时，x3等于（）
A． 10 B． 9 C． 8 D． 7 10．（5分）已知两个点M（﹣5，0），N（5，0），若直线上存在点P，使得|PM|﹣|PN|=6，则称该直线为“hold直线”．给出下列直线：①y=x，②y=2x+1，③y=x+1，则这三条直线中有（）条“hold直线”． A． 3 B． 2 C． 1 D． 0
二、填空题：本大题共3小题，每小题5分，满分15分．其中14～15题是选做题，考生只能选做一题，两题全答的，只计算前一题得分．请将答案填在答题卡相应位置.（一）必做题（11-13题）
11．（5分）设x，y∈R，向量=（x，1），=（1，y），=（3，﹣6），且⊥，∥，则（+）?=．
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12．（5分）已知直线l过圆x+（y﹣3）=4的圆心，且与直线x+y+1=0垂直，则l的方程是． 13．（5分）观察下列等式 3
1=1 33
1+2=9 333
1+2+3=36 3333
1+2+3+4=100 ?
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照此规律，第6个等式可为．
（二）选做题（14-15题，考生只能从中选做一题）【坐标系与参数方程选做题】 14．（5分）已知两曲线参数方程分别为
（0≤θ＜π）和
（t∈R），
它们的交点坐标为．
【几何证明选讲选做题】
15．如图，过圆O外一点P分别作圆的切线和割线交圆于A，B，且PB=9，C是圆上一点使得BC=4，∠BAC=∠APB，则AB=．
三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答应写出文字说明、证明过程和演算步骤．
2
16．（12分）已知函数f（x）=2cosx+2sinxcosx，x∈R． （Ⅰ）求函数f（x）的最小正周期； （Ⅱ）求函数f（x）在区间
上的值域．
17．（12分）海关对同时从A，B，C三个不同地区进口的某种商品进行抽样检测，从各地区进口此商品的数量（单位：件）如表所示．工作人员用分层抽样的方法从这些商品中共抽取6件样品进行检测． 地区 A B C 数量 50 150 100
（Ⅰ）求这6件样品来自A，B，C各地区商品的数量；
（Ⅱ）若在这6件样品中随机抽取2件送往甲机构进行进一步检测，求这2件商品来自相同地区的概率． 18．（14分）如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AA1=AC=2AB=2，且BC1⊥A1C． （Ⅰ）求证：平面ABC1⊥平面A1C1CA；
（Ⅱ）设D是A1C1的中点，判断并证明在线段BB1上是否存在点E，使DE∥平面ABC1；若存在，求三棱锥E﹣ABC1的体积．
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19．（14分）已知等差数列{an}的前n项和为Sn=n+pn+q（p，q∈R），且a2，a3，a5成等比数列． （1）求p，q的值；
（2）若数列{bn}满足an+log2n=log2bn，求数列{bn}的前n项和Tn．
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20．（14分）已知圆C：x+y+2x﹣4y+3=0．
（1）若圆C的切线在x轴和y轴上的截距相等，求此切线的方程；
（2）从圆C外一点P（x1，y1）向该圆引一条切线，切点为M，O为坐标原点，且有|PM|=|PO|，求使得|PM|取得最小值的点P的坐标．
21．（14分）已知函数f（x）=x+
3
x﹣ax﹣a，x∈R，其中a＞0．
2
（1）求函数f（x）的单调区间；
（2）若函数f（x）在区间（﹣3，0）内恰有两个零点，求a的取值范围； （3）当a=1时，设函数f（x）在区间[t，t+3]上的最大值为M（t），最小值为m（t），记g（t）=M（t）﹣m（t），求函数g（t）在区间[﹣4，﹣1]上的最小值．
广东省深圳市石岩公学2015届高三上学期12月统测数学试卷（文科） 参考答案与试题解析
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，满分50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．请在答题卡上填涂相应选项. 1．（5分）设全集U={1，2，3，4，5}，集合A={2，3，4}，B={2，5}，则B∪（?UA）=（） A． {5} B． {1，2，5} C． {1，2，3，4，5} D． ?
考点： 补集及其运算；并集及其运算． 专题： 计算题．
分析： 先求出?UA，再由集合的并运算求出B∪（?UA）． 解答： 解：∵CUA={1，5}
∴B∪（?UA）={2，5}∪{1，5}={1，2，5}． 故选B．
点评： 本题考查集合的运算，解题时要结合题设条件，仔细分析，耐心求解． 2．（5分）已知i是虚数单位，a，b∈R，且（a+i）i=b﹣2i，则a+b=（）
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A． 1 B． ﹣1 C． ﹣2 D． ﹣3
考点： 复数相等的充要条件；复数代数形式的乘除运算． 专题： 计算题．
分析： 把给出的等式左边的复数利用复数的多项式乘法运算化简，然后利用复数相等的条件求出a和b，则a+b可求．
解答： 解：由（a+i）i=b﹣2i， 可得：﹣1+ai=b﹣2i． ∴
．∴a+b=﹣3．
故选：D．
点评： 本题考查复数相等的条件，两个复数相等，当且仅当实部等于实部，虚部等于虚部，此题是基础题． 3．（5分）已知α为锐角，且tan（π﹣α）+3=0，则sinα的值是（） A．
B．
C．
D．
考点： 同角三角函数基本关系的运用． 专题： 三角函数的求值．
分析： 已知等式利用诱导公式变形，求出tanα的值，根据α为锐角，求出cosα的值，即可求出sinα的值．
解答： 解：∵α为锐角，且tan（π﹣α）+3=﹣tanα+3=0，即tanα=3， ∴cosα=
=
，
则sinα==．
故选：B．
点评： 此题考查了同角三角函数基本关系的运用，熟练掌握基本关系是解本题的关键．
2
4．（5分）若a，b，c成等比数列，则函数f（x）=ax+bx+c与x轴的交点个数是（） A． 0 B． 1 C． 2 D． 不确定的
考点： 等比数列的性质． 专题： 计算题．
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分析： 根据a，b，c成等比数列，得出b=ac且ac＞0，令ax+bx+c=0，求出△＜0，判断
2
出方程无根，进而判断函数f（x）=ax+bx+c与x轴无交点． 解答： 解：∵a，b，c成等比数列， 2
∴b=ac∴ac＞0
2
∴△=b﹣4ac=﹣3ac＜0
2
∴方程ax+bx+c=0无根，
2
即函数f（x）=ax+bx+c与x轴无交点．
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