文档来源：弘毅教育园丁网数学第一站www.jszybase.com ①﹣②得
=
=
．?（13分）
∴．?（14分）
解法二：
（1）解：设等差数列{an}的公差为d， 则∵∴
，
，
，q=0．?（4分）
．?（1分）
∴d=2，p=a1﹣1，q=0． ∵a2，a3，a5成等比数列， ∴即
，?（5分）
．
解得a1=0．?（6分） ∴p=﹣1．?（7分）
（2）解：由（1）得an=2n﹣2．?（8分） ∵an+log2n=log2bn， ∴
．?（9分）
∴Tn=b1+b2+b3+?+bn﹣1+bn 012n﹣2n﹣1
=4+2×4+3×4+?+（n﹣1）?4+n?4．?（10分） 由
两边对x取导数得， x+2x+3x+?+nx
0
1
2
n﹣1
，?（11分）
=．?（12分）
令x=4，得∴
．?（14分）
．
点评： 本题考查实数的求法，考查数列的前n项和的求法，解题时要注意审题，注意错位相减法的合理运用．
22
20．（14分）已知圆C：x+y+2x﹣4y+3=0．
（1）若圆C的切线在x轴和y轴上的截距相等，求此切线的方程；
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（2）从圆C外一点P（x1，y1）向该圆引一条切线，切点为M，O为坐标原点，且有|PM|=|PO|，求使得|PM|取得最小值的点P的坐标．
考点： 直线与圆的位置关系． 专题： 综合题． 分析： （1）当截距不为0时，根据圆C的切线在x轴和y轴的截距相等，设出切线方程x+y=a，然后利用点到直线的距离公式求出圆心到切线的距离d，让d等于圆的半径r，列出关于a的方程，求出方程的解即可得到a的值，得到切线的方程；当截距为0时，设出切线方程为y=kx，同理列出关于k的方程，求出方程的解即可得到k的值，得到切线的方程；
（2）根据圆切线垂直于过切点的半径，得到三角形CPM为直角三角形，根据勾股定理表示出点P的轨迹方程，由轨迹方程得到动点P的轨迹为一条直线，所以|PM|的最小值就是|PO|的最小值，求出原点到P轨迹方程的距离即为|PO|的最小值，然后利用两点间的距离公式表示出P到O的距离，把P代入动点的轨迹方程，两者联立即可此时P的坐标． 解答： 解：（1）∵切线在两坐标轴上的截距相等， ∴当截距不为零时，设切线方程为x+y=a，
22
又∵圆C：（x+1）+（y﹣2）=2，
∴圆心C（﹣1，2）到切线的距离等于圆的半径， 即
，
解得：a=﹣1或a=3， 当截距为零时，设y=kx，
同理可得或，
则所求切线的方程为x+y+1=0或x+y﹣3=0或
（2）∵切线PM与半径CM垂直，
222
∴|PM|=|PC|﹣|CM|．
2222
∴（x1+1）+（y1﹣2）﹣2=x1+y1． ∴2x1﹣4y1+3=0．
∴动点P的轨迹是直线2x﹣4y+3=0． ∴|PM|的最小值就是|PO|的最小值．
而|PO|的最小值为原点O到直线2x﹣4y+3=0的距离
或
．
，
∴由，可得
故所求点P的坐标为．
点评： 此题考查学生掌握直线与圆相切时所满足的条件，会根据条件求动点的轨迹方程，灵活运用两点间的距离公式化简求值，是一道综合题．
21．（14分）已知函数f（x）=x+（1）求函数f（x）的单调区间；
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3
x﹣ax﹣a，x∈R，其中a＞0．
2
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（2）若函数f（x）在区间（﹣3，0）内恰有两个零点，求a的取值范围； （3）当a=1时，设函数f（x）在区间[t，t+3]上的最大值为M（t），最小值为m（t），记g（t）=M（t）﹣m（t），求函数g（t）在区间[﹣4，﹣1]上的最小值．
考点： 利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性． 专题： 导数的综合应用．
分析： （1）求导函数，令f′（x）＞0，可得函数的递增区间；令f′（x）＜0，可得单调递减区间；
（2）由（1）知函数在区间（﹣3，﹣1）内单调递增，在（﹣1，0）内单调递减，从而函数在（﹣3，0）内恰有两个零点，由此可求a的取值范围；
（3）a=1时，f（x）=x﹣x﹣1，由（1）知，函数在（﹣4，﹣1）上单调递增，在（﹣1，1）上单调递减，在（1，2）上单调递增，再进行分类讨论，得到函数在[t，t+3]上的最大值为M（t）以及最小值m（t），从而可得g（t）在[﹣4，﹣1]上的最小值． 解答： 解：（1）求导函数可得f′（x）=（x+1）（x﹣a）， 令f′（x）=0，可得x1=﹣1，x2=a（a＞0）
令f′（x）＞0，可得x＜﹣1或x＞a；令f′（x）＜0，可得﹣1＜x＜a 故函数的递增区间为（﹣∞，﹣1），（a，+∞），单调递减区间为（﹣1，a）；
（2）由（1）知函数在区间（﹣3，﹣1）内单调递增，在（﹣1，0）内单调递减， 若函数在（﹣3，0）内恰有两个零点，
3
∴，解得0＜a＜，
∴a的取值范围为（0，）；
（3）a=1时，f（x）=x﹣x﹣1，由（1）知，函数在（﹣4，﹣1）上单调递增，在（﹣1，1）上单调递减，在（1，2）上单调递增
①当t=﹣4时，函数在[t，t+3]上单调递增，
则函数f（x）在区间[t，t+3]上的最大值为M（t）=f（﹣1）=﹣，最小值为m（t）=f（﹣4）=﹣
，
3
则g（t）=M（t）﹣m（t）=18；
②当t∈（﹣4，﹣2]时，t+3∈（﹣1，1]，
∴﹣1∈[t，t+3]，f（x）在[t，﹣1]上单调递增，在[﹣1，t+3]上单调递减
因此函数在[t，t+3]上的最大值为M（t）=f（﹣1）=﹣，而最小值m（t）为f（t）与f（t+3）中的较小者
由f（t+3）﹣f（t）=3（t+1）（t+2）知， 当t∈（﹣4，﹣2]时，f（t）≤f（t+3），故m（t）=f（t）， 所以g（t）=f（﹣1）﹣f（t）
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而f（t）在（﹣4，﹣2]上单调递减，因此f（t）≤f（﹣2）=﹣，所以g（t）在（﹣4，﹣2]上的最小值为g（﹣2）=
；
③当t∈[﹣2，﹣1]时，t+3∈[1，2]，﹣1，1∈[t，t+3]，最大值为f（﹣1）与f（t+3）较大者，最小值为f（1）与f（t）较小者．
由f（x）在[﹣2，﹣1]，[1，2]上单调递增，有 f（﹣2）≤f（t）≤f（﹣1），f（1）≤f（t+3）≤f（2） ∵f（1）=f（﹣2）=﹣，f（﹣1）=f（2）=﹣， ∴M（t）=f（﹣1）=﹣，m（t）=f（1）=﹣， ∴g（t）=M（t）﹣m（t）=，
综上，函数g（t）在区间[﹣4，﹣1]上的最小值为．
点评： 本题考查导数知识的运用，考查函数的单调性，考查函数的最值，考查分类讨论的数学思想，正确求导与分类讨论是解题的关键．
- 19 -
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