新高考数学大一轮复习第十章计数原理概率随机变量及其分布第八节

新高考数学大一轮复习第十章计数原理概率随机变量及其分布第八节

离散型随机变量的均值与方差教师用书理

☆☆☆2017考纲考题考情☆☆☆

考纲要求 真题举例 2016，全国卷Ⅰ，19,12分(随1.理解取有限个值的离散型随机变量的均值、方差的概念； 2.能计算简单离散型随机变量的均值、方差，并能解决一些实际问题。 机变量的分布列、均值) 2016，山东卷，19,12分(随机变量的分布列、均值) 2015，安徽卷，17,12分(条件概率、分布列、均值) 2014，陕西卷，19,12分(二项分布) 微知识 小题练

自|主|排|查

1．离散型随机变量的均值与方差 若离散型随机变量X的分布列为

命题角度 1.主要考查离散型随机变量的数学期望与方差的求解及应用，常与排列、组合、概率、统计交汇命题； 2.题型以解答题为主，要求较高，解题时要求有较强的综合能力以及分析问题、解决问题的能力。 X P x1 p1 x2 p2 … … xi pi … … xn pn (1)均值：称E(X)＝x1p1＋x2p2＋…＋xipi＋…＋xnpn为随机变量X的均值或数学期望，它反映了离散型随机变量取值的平均水平。

n(2)D(X)＝? (xi－E(X))pi为随机变量X的方差，它刻画了随机变量X与其均值E(X)的

2

i＝1

平均偏离程度，其算术平方根D2．均值与方差的性质 (1)E(aX＋b)＝aE(X)＋b，

X为随机变量X的标准差。

(2)D(aX＋b)＝aD(X)(a，b为常数)。 3．两点分布与二项分布的均值、方差

2

- 1 - / 14

X E(X) D(X) X服从两点分布 p(p为成功概率) p(1－p) X～B(n，p) np np(1－p) 微点提醒

1．均值E(X)是一个实数，由X的分布列唯一确定，即X作为随机变量是可变的，而E(X)是不变的，它描述X值的取值平均状态。

2．已知随机变量的分布列求它的均值、方差和标准差，可直接按定义(公式)求解。若所给随机变量服从两点分布或二项分布等，则可直接利用它们的均值、方差公式求解。

3．已知随机变量X的均值、方差，求X的线性函数Y＝aX＋b的均值、方差和标准差，可直接用X的均值、方差的性质求解。

小|题|快|练

一 、走进教材

1．(选修2－3P64练习T2改编)已知离散型随机变量X的分布列为

X P 则X的数学期望E(X)＝( ) 3A. 25C. 2

1 3 52 3 103 1 10B．2 D．3

331153

【解析】 E(X)＝1×＋2×＋3×＝＝。故选A。

51010102【答案】 A

2．(选修2－3P69B组T1改编)抛掷两枚骰子，当至少一枚5点或一枚6点出现时，就说这次试验成功，则在10次试验中成功次数的均值为________。

444

【解析】 抛掷两枚骰子，当两枚骰子不出现5点和6点时的概率为×＝，所以至少6695?45?有一次出现5点或6点的概率为1－＝，用X表示10次试验中成功的次数，则X～B?10，?，9?99?

E(X)＝10×＝。

【答案】

50

9

- 2 - / 14

55099

二、双基查验

1．已知X的分布列为

X P －1 1 20 1 31 1 6设Y＝2X＋3，则E(Y)的值为( ) 7A. 3C．－1

111

【解析】 E(X)＝－＋＝－，

263

B．4 D．1

E(Y)＝E(2X＋3)＝2E(X)＋3＝－＋3＝。故选A。

【答案】 A

2．(2017·洛阳模拟)一个人将编号为1,2,3,4的四个小球随机放入编号为1,2,3,4的四个盒子，每个盒子放一个小球，球的编号与盒子的编号相同时叫做放对了，否则叫做放错了。设放对个数记为ξ，则ξ的期望的值为( )

1

A. 2C．1

2B. 3D．2

4

2373

【解析】 将四个不同小球放入四个不同盒子，每个盒子放一个小球，共有A4种不同放93

法，放对的个数ξ可取的值有0,1,2,4，其中P(ξ＝0)＝4＝，

A48

C4×21C4111311

P(ξ＝1)＝4＝，P(ξ＝2)＝4＝，P(ξ＝4)＝4＝，E(ξ)＝0×＋1×＋2×＋A43A44A4248341

4×＝1。故选C。 24

【答案】 C

3．某种种子每粒发芽的概率都为0.9，现播种了1 000粒，对于没有发芽的种子，每粒需再补种2粒，补种的种子数记为X，则X的数学期望为( )

A．100 C．300

B．200 D．400

1

2

【解析】 记不发芽的种子数为ξ，则ξ～B(1 000，0.1)

∴E(ξ)＝1 000×0.1＝100。又X＝2ξ，∴E(X)＝E(2ξ)，2E(ξ)＝200。故选B。 【答案】 B

1

4．随机变量ξ的取值为0,1,2，若P(ξ＝0)＝，E(ξ)＝1，则D(ξ)＝________。

5

- 3 - / 14

1?1?【解析】 设ξ＝1时的概率为p，则E(ξ)＝0×＋1×p＋2×?1－p－?＝1，解得p＝5?5?31312222

，故D(ξ)＝(0－1)×＋(1－1)×＋(2－1)×＝。 55555

2

【答案】 5

?1?5．(2016·兰州一中模拟)若随机变量ξ～B?5，?，则D(3ξ＋2)＝________. ?3??1?∴D(ξ)＝5×1×?1－1?＝10，

【解析】 ∵随机变量ξ～B?5，?，∴D(3ξ＋2)＝9D(ξ)??3?3?9?3?

＝10。

【答案】 10

微考点 大课堂

考点一 与超几何分布有关的均值与方差 【典例1】 某公司电脑专业技术人员对该公司A，B两个办公室的50台电脑进行报废检查，其中A办公室的电脑占60%，B办公室的电脑占40%，A办公室电脑的报废率为10%，

B办公室电脑的报废率为20%。

(1)若从这50台电脑中随机抽取1台(每台电脑被抽到的机会相等)，求该电脑是A办公室的且不报废的概率；

(2)若从这50台电脑中随机抽取2台(每台电脑被抽到的机会相等)，记这2台电脑是A办公室的且不报废的台数为ξ，求ξ的分布列与数学期望。

【解析】 (1)由题意可得，这50台电脑中，A办公室有50×60%＝30台，其中A办公室的电脑不报废的有30×(1－10%)＝27台，故从这50台电脑中随机抽取1台，该电脑是A办27公室的且不报废的概率为。

50

(2)依题意，ξ的所有可能取值为0,1,2， C23253

P(ξ＝0)＝2＝，

C501 225C27C23621

P(ξ＝1)＝2＝，

C501 225C27351

P(ξ＝2)＝2＝。

C501 225ξ的分布列为

ξ 0 1 - 4 - / 14

2 21

12

P E(ξ)＝0×

253 1 225621 1 225351 1 22525362135127＋1×＋2×＝ 1 2251 2251 22525

27

【答案】 (1)

50(2)见解析

反思归纳 求离散型随机变量ξ的均值与方差的步骤 1．理解ξ的意义，写出ξ可能的全部值。 2．求ξ取每个值的概率。 3．写出ξ的分布列。 4．由均值的定义求E(ξ)。 5．由方差的定义求D(ξ)。

【变式训练】 一个不透明的盒子中关有蝴蝶、蜜蜂和蜻蜓三种昆虫共11只，现在盒子上开一小孔，每次只能飞出1只昆虫(假设任意1只昆虫等可能地飞出)。若有2只昆虫先后21

任意飞出(不考虑顺序)，则飞出的是蝴蝶或蜻蜓的概率是。

55

(1)求盒子中蜜蜂有几只。

(2)若从盒子中先后任意飞出3只昆虫(不考虑顺序)，记飞出蜜蜂的只数为X，求随机变量X的分布列与数学期望E(X)。

【解析】 (1)设“2只昆虫先后任意飞出，飞出的是蝴蝶或蜻蜓”为事件A，设盒子中蜜蜂为x只，则由题意，得

C11－x21

P(A)＝2＝，所以(11－x)(10－x)＝42，

C1155解之得x＝4或x＝17(舍去)， 故盒子中蜜蜂有4只。

(2)由(1)知，盒子中蜜蜂有4只，则X的取值可为0,1,2,3， C77C4C728

P(X＝0)＝3＝，P(X＝1)＝3＝，

C1133C1155C4C714C44

P(X＝2)＝3＝，P(X＝3)＝3＝。

C1155C11165故X的分布列为

21

3

3

12

2

X P 0 7 331 28 552 14 553 4 165 - 5 - / 14

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