新高考数学大一轮复习第十章计数原理概率随机变量及其分布第八节(3)

P 515

则E(X)＝3×＝。

88

27 512135 512225 512125 512D(X)＝3×?1－?＝。

8

【答案】 (1)48 (2)见解析

考点四 均值与方差在决策中的应用 5?8?5?45?64

【典例4】 (2016·全国卷Ⅰ)某公司计划购买2台机器，该种机器使用三年后即被淘汰。机器有一易损零件，在购进机器时，可以额外购买这种零件作为备件，每个200元。在机器使用期间，如果备件不足再购买，则每个500元。现需决策在购买机器时应同时购买几个易损零件，为此搜集并整理了100台这种机器在三年使用期内更换的易损零件数，得下面柱状图：

以这100台机器更换的易损零件数的频率代替1台机器更换的易损零件数发生的概率，记X表示2台机器三年内共需更换的易损零件数，n表示购买2台机器的同时购买的易损零件数。

(1)求X的分布列；

(2)若要求P(X≤n)≥0.5，确定n的最小值；

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(3)以购买易损零件所需费用的期望值为决策依据，在n＝19与n＝20之中选其一，应选用哪个？

【解析】 (1)由柱状图并以频率代替概率可得，1台机器在三年内需更换的易损零件数为8,9,10,11的概率分别为0.2,0.4,0.2,0.2，从而

P(X＝16)＝0.2×0.2＝0.04； P(X＝17)＝2×0.2×0.4＝0.16；

P(X＝18)＝2×0.2×0.2＋0.4×0.4＝0.24； P(X＝19)＝2×0.2×0.2＋2×0.4×0.2＝0.24； P(X＝20)＝2×0.2×0.4＋0.2×0.2＝0.2； P(X＝21)＝2×0.2×0.2＝0.08； P(X＝22)＝0.2×0.2＝0.04。

所以X的分布列为

X P 16 0.04 17 0.16 18 0.24 19 0.24 20 0.2 21 0.08 22 0.04 (2)由(1)知P(X≤18)＝0.44，P(X≤19)＝0.68，故n的最小值为19。 (3)记Y表示2台机器在购买易损零件上所需的费用(单位：元)。 当n＝19时，

E(Y)＝19×200×0.68＋(19×200＋500)×0.2＋(19×200＋2×500)×0.08＋(19×200

＋3×500)×0.04＝4 040。

当n＝20时，

E(Y)＝20×200×0.88＋(20×200＋500)×0.08＋(20×200＋2×500)×0.04＝4 080。

可知当n＝19时所需费用的期望值小于当n＝20时所需费用的期望值，故应选n＝19。 【答案】 (1)见解析 (2)19 (3)应选n＝19

反思归纳 随机变量的均值反映了随机变量取值的平均水平，方差反映了随机变量稳定于均值的程度，它们从整体和全局上刻画了随机变量，是生产实际中用于方案取舍的重要理论依据。一般先比较均值，若均值相同，再用方差来决定。

【变式训练】 某投资公司在2015年年初准备将1 000万元投资到“低碳”项目上，现有两个项目供选择：

项目一：新能源汽车。据市场调研，投资到该项目上，到年底可能获利30%，也可能亏损72

15%，且这两种情况发生的概率分别为和；

99

项目二：通信设备。据市场调研，投资到该项目上，到年底可能获利50%，可能损失30%，311

也可能不赔不赚，且这三种情况发生的概率分别为，和。

5315

- 12 - / 14

针对以上两个投资项目，请你为投资公司选择一个合理的项目，并说明理由。 【解析】 若按“项目一”投资，设获利为X1万元。则X1的分布列为

X1 P 300 7 9－150 2 972∴E(X1)＝300×＋(－150)×＝200(万元)。

99若按“项目二”投资，设获利X2万元， 则X2的分布列为：

X2 P 500 3 5－300 1 30 1 15311∴E(X2)＝500×＋(－300)×＋0×

5315＝200(万元)。

D(X1)＝(300－200)2×＋(－150－200)2×＝35 000，

D(X2)＝(500－200)2×＋(－300－200)2×＋(0－200)2×＝140 000。

所以E(X1)＝E(X2)，D(X1)

这说明虽然项目一、项目二获利相等，但项目一更稳妥。 综上所述，建议该投资公司选择项目一投资。 【答案】 见解析

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1．(2017·石家庄模拟)口袋中装有大小质地都相同，编号为1,2,3,4,5的球各一个，现从中一次性随机地取出两个球，设取出的两球中较大的编号为X，则随机变量X的数学期望是( )

A．3 C．4.5

解析 由已知得X的可能取值为2,3,4,5， C11C22

P(X＝2)＝2＝，P(X＝3)＝2＝，

C510C510C33C44

P(X＝4)＝2＝；P(X＝5)＝3＝，

C510C510

1

1

1

1

7

935

2913

115

B．4 D．5

- 13 - / 14

1234

∴E(X)＝2×＋3×＋4×＋5×＝4。故选B。

10101010答案 B

2．(2015·广东高考)已知随机变量X服从二项分布B(n，p)。若E(X)＝30，D(X)＝20，则p＝__________。

解析 随机变量X服从二项分布B(n，p)， 若E(X)＝30，D(X)＝20，

21

可得np＝30，npq＝20，q＝，则p＝。

331

答案 3

3．(2016·曲阜模拟)两个不同的口袋中，各装有大小、形状完全相同的1个红球、2个黄球。现从每个口袋中各任取2球，设随机变量ξ为取得红球的个数，则E(ξ)＝________。

C2C21C2C24

解析 由题意ξ的取值为0,1,2，则P(ξ＝0)＝22＝；P(ξ＝1)＝2·2·2＝；

C3C39C3C39C2C241444

P(ξ＝2)＝22＝，所以数学期望：E(ξ)＝0×＋1×＋2×＝。

C3C3999934

答案 3

4．马老师从课本上抄录一个随机变量ξ的分布列如下表：

11

22

1

2

x P(ξ＝x) 1 ？ 2 ！ 3 ？ 请小牛同学计算ξ的均值。尽管“！”处完全无法看清，且两个“？”处字迹模糊，但能断定这两个“？”处的数值相同。据此，小牛给出了正确答案E(ξ)＝________。

解析 设“？”处的数值为x，则“！”处的数值为1－2x，则E(ξ)＝1·x＋2×(1－2x)＋3x＝x＋2－4x＋3x＝2。

答案 2

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