新高考数学大一轮复习第十章计数原理概率随机变量及其分布第八节(2)

72814412

数学期望E(X)＝0×＋1×＋2×＋3×＝。

33555516511【答案】 (1)4只 (2)见解析

考点二 与相互独立事件有关的均值与方差 【典例2】 甲、乙两人组成“星队”参加猜成语活动，每轮活动由甲、乙各猜一个成语，在一轮活动中，如果两人都猜对，则“星队”得3分；如果只有一人猜对，则“星队”得13

分；如果两人都没猜对，则“星队”得0分。已知甲每轮猜对的概率是，乙每轮猜对的概率42

是；每轮活动中甲、乙猜对与否互不影响，各轮结果亦互不影响。假设“星队”参加两轮活3动，求：

(1)“星队”至少猜对3个成语的概率；

(2)“星队”两轮得分之和X的分布列和数学期望E(X)。

【解析】 (1)记事件A：“甲第一轮猜对”，记事件B：“乙第一轮猜对”， 记事件C：“甲第二轮猜对”，记事件D：“乙第二轮猜对”。 记事件E：“‘星队’至少猜对3个成语”。 由题意，E＝ABCD＋ABCD＋ABCD＋ABCD＋ABCD。 由事件的独立性与互斥性，得

P(E)＝P(ABCD)＋P(ABCD)＋P(ABCD)＋P(ABCD)＋P(ABCD)＝P(A)P(B)P(C)P(D)＋P(A)P(B)P(C)P(D)＋P(A)P(B)P(C)P(D)＋P(A)P(B)P(C)P(D)＋P(A)P(B)P(C)P(D)＝

232?12323132?2×××＋2×?×××＋×××?＝。 343?43434343?3

2所以“星队”至少猜对3个成语的概率为。

3(2)由题意，随机变量X可能的取值为0,1,2,3,4,6。 由事件的独立性与互斥性，得

34

P(X＝0)＝×××＝1143111

，

43144

?31111211?P(X＝1)＝2×?×××＋×××?

?43434343?

＝

105

＝， 14472

3143

31314343

1212311243434343

1225

，

43144

P(X＝2)＝×××＋×××＋×××＋×××＝

- 6 - / 14

P(X＝3)＝×××＋×××＝323

1321

32431111434332121

＝，

4314412

2

??P(X＝4)＝2×?×××＋×××? 43434343

?

?

＝

605＝， 14412

3243

32361

＝。

431444

P(X＝6)＝×××＝可得随机变量X的分布列为

X P 0 1 1441 5 722 25 1443 1 124 5 126 1 4所以数学期望E(X)＝0×

152515123＋1×＋2×＋3×＋4×＋6×＝。 14472144121246

2

【答案】 (1) (2)见解析

3

反思归纳 首先根据条件判断事件是否是相互独立事件，若是相互独立事件，先求出相关分布列，再求出数学期望与方差。

【变式训练】 (2016·沈阳质监)某中学根据2002～2014年期间学生的兴趣爱好，分别创建了“摄影”、“棋类”、“国学”三个社团，据资料统计新生通过考核选拔进入这三个社团成功与否相互独立。2015年某新生入学，假设他通过考核选拔进入该校的“摄影”、“棋11

类”、“国学”三个社团的概率依次为m、、n，已知三个社团他都能进入的概率为，至少

3243

进入一个社团的概率为，且m>n。

4

(1)求m与n的值；

(2)该校根据三个社团活动安排情况，对进入“摄影”社的同学增加校本选修学分1分，对进入“棋类”社的同学增加校本选修学分2分，对进入“国学”社的同学增加样本选修学分3分。求该新同学在社团方面获得校本选修课学分分数的分布列及期望。

【解析】 (1)依题意得 11mn＝，??324???1－－m?1－1??3???

3

－n＝，

4

1m＝，??2解得?1

n＝??4。

(2)设该新同学在社团方面获得校本选修课学分的分数为随机变量X，则X的值可以为0,1,2,3,4,5,6。

- 7 - / 14

1231

而P(X＝0)＝××＝；

2344

P(X＝1)＝××＝； P(X＝2)＝××＝；

P(X＝3)＝××＋××＝； P(X＝4)＝××＝； P(X＝5)＝××＝； P(X＝6)＝××＝。 X的分布列为：

X P 0 1 41 1 42 1 83 5 244 1 125 1 246 1 241123

14

124

1123

14

124

1223

14

112

1223

11134234

524

1123

3148

12233144

111511123于是，E(X)＝0×＋1×＋2×＋3×＋4×＋5×＋6×＝。

448241224241211

【答案】 (1)m＝ n＝ (2)见解析

24

考点三 与二项分布有关的均值与方差 【典例3】 某商场举行有奖促销活动，顾客购买一定金额的商品后即可抽奖，每次抽奖都是从装有4个红球、6个白球的甲箱和装有5个红球、5个白球的乙箱中，各随机摸出1个球，在摸出的2个球中，若都是红球，则获一等奖；若只有1个红球，则获二等奖；若没有红球，则不获奖。

(1)求顾客抽奖1次能获奖的概率；

(2)若某顾客有3次抽奖机会，记该顾客在3次抽奖中获一等奖的次数为X，求X的分布列、数学期望和方差。

【解析】 (1)记事件A1＝{从甲箱中摸出的1个球是红球}，A2＝{从乙箱中摸出的1个球是红球}，

B1＝{顾客抽奖1次获一等奖}，B2＝{顾客抽奖1次获二等奖}，C＝{顾客抽奖1次能获奖}。

由题意知A1与A2相互独立，A1A2与A1A2互斥，B1与B2互斥，且B1＝A1A2，B2＝A1A2＋A12

A，C＝B1＋B2。

- 8 - / 14

4251

因为P(A1)＝＝，P(A2)＝＝，

105102所以P(B1)

211

＝P(A1A2)＝P(A1)P(A2)＝×＝，

525

P(B2)＝P(A1A2＋A1A2)＝P(A1A2)＋P(A1A2)

＝P(A1)P(A2)＋P(A1)P(A2) ＝P(A1)[1－P(A2)]＋[1－P(A1)]P(A2) 2?1??2?11＝×?1－?＋?1－?×＝。 5?2??5?22

117

故所求概率为P(C)＝P(B1＋B2)＝P(B1)＋P(B2)＝＋＝。

5210(2)顾客抽奖3次可视为3次独立重复试验， 1

由(1)知，顾客抽奖1次获一等奖的概率为，

5

?1?所以X～B?3，?。 ?5?

640?1?0?4?3

于是P(X＝0)＝C3????＝，

?5??5?125

12

P(X＝1)＝C1， 3????＝

?5??5?125

?1??4??1??4??1??4?48121

21

P(X＝2)＝C2， 3????＝

?5??5?125

30

P(X＝3)＝C3。 3????＝

?5??5?125

故X的分布列为

X P 0 64 1251355

1 48 1252 12 12515

3 1 125X的数学期望为E(X)＝3×＝，方差为D(X)＝3××?1－?＝。

5

7

【答案】 (1) (2)见解析

10

反思归纳 求随机变量X的均值与方差时，可首先分析X是否服从二项分布，如果X～B(n，

?

?

1?12?25

p)，则用公式E(X)＝np；D(X)＝np(1－p)求解，可大大减少计算量。

- 9 - / 14

【变式训练】 某省组织部为了了解今年全省高三毕业班准备报考飞行员的学生的体重情况，对该省某校高三毕业班准备报考飞行员的学生的体重进行了统计，将所得的数据整理后，画出了频率分布直方图(如图)。已知图中从左到右的前3个小组的频率之比为1∶2∶3，其中第2小组的频数为12。

(1)求该校报考飞行员的总人数；

(2)以这所学校的样本数据来估计全省的总体数据，用频率来估计概率，若从全省报考飞行员的学生中(人数很多)任选3人，设X表示体重超过60 kg的学生人数，求X的分布列、数学期望和方差。

【解析】 (1)设该校报考飞行员的总人数为n，前3小组的频率分别为f1，f2，f3，则由条件可得，

f2＝2f1??

?f3＝3f1??f1＋f2＋f3＋

＋＝1

解得f1＝0.125，f2＝0.25，f3＝0.375。 12

因为f2＝＝0.25，所以n＝48。

n(2)由(1)可得，一个报考飞行员的学生的体重超过60 kg的概率为P＝f3＋(0.037＋5

0.013)×5＝，

8

k3－kX服从二项分布，P(X＝k)＝Ck(k＝0,1,2,3)。 3?????8??8?

?5??3?所以随机变量X的分布列为

X 0 1 - 10 - / 14

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