抽象函数习题精选精讲(2)

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即f(x)－g(x) ②

x 1x 1

1x

显见①+②即可消去g(x),求出函数f(x) 2再代入①求出g(x) 2

x 1x 1

∴

f( x) g( x)

5.赋值法：给自变量取特殊值，从而发现规律，求出例6：设解：∵

f(x)的表达式

f(x)的定义域为自然数集，且满足条件f(x 1) f(x) f(y) xy,及f(1)=1,求f(x)

f(x)的定义域为N，取y=1,则有f(x 1) f(x) x 1

∵f(1)=1,∴f(2)=f(1)+2,f(3) f(2) 3 f(n) f(n 1) n

n(n 1)1

以上各式相加，有f(n)=1+2+3+ +n=∴f(x) x(x 1),x N

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二、利用函数性质，解

f(x)的有关问题

1.判断函数的奇偶性： 例7 已知

f(x y) f(x y) 2f(x)f(y),对一切实数x、y都成立，且f(0) 0,求证f(x)为偶函数。

f(y) f( y) 2f(0)f(y) ①

证明：令x=0, 则已知等式变为在①中令

y=0则2f(0)=2f(0)∵ f(0)≠0∴f(0)=1∴f(y) f( y) 2f(y)∴f( y) f(y)∴f(x)为偶函数。

2.确定参数的取值范围 例8：奇函数解：由

f(x)在定义域（-1，1）内递减，求满足f(1 m) f(1 m2) 0的实数m的取值范围。

f(1 m) f(1 m2) 0得f(1 m) f(1 m2)，∵f(x)为函数，∴f(1 m) f(m2 1)

1 1 m 1

又∵f(x)在（-1，1）内递减，∴ 1 m2 1 1 0 m 1

1 m m2 1

3.解不定式的有关题目 例9：如果

f(x)=ax2 bx c对任意的t有f(2 t) f2 t),比较f(1)、f(2)、f(4)的大小

f(2 t) f2 t)∴x=2为抛物线y=ax2 bx c的对称轴

解：对任意t有

又∵其开口向上∴∴

f

(2)最小，

f

(1)=

f

(3)∵在［2，＋∞)上，

f(x)为增函数

f

(3)<

f

(4),∴

f

(2)<

f

(1)<

f

(4)

五类抽象函数解法

1、线性函数型抽象函数

线性函数型抽象函数，是由线性函数抽象而得的函数。

例1、已知函数f（x）对任意实数x，y，均有f（x＋y）＝f（x）＋f（y），且当x＞0时，f（x）＞0，f（－1）＝－2，求f（x）在区间[－2，1]上的值域。 分析：由题设可知，函数f（x）是

的抽象函数，因此求函数f（x）的值域，关键在于研究它的单调性。

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