抽象函数习题精选精讲(4)

（2）假设结论正确。

综上所述，x为一切自然数时3、对数函数型抽象函数

对数函数型抽象函数，即由对数函数抽象而得到的函数。 例5、设f（x）是定义在（0，＋∞）上的单调增函数，满足

（1）f（1）；

（2）若f（x）＋f（x－8）≤2，求x的取值范围。 分析：由题设可猜测f（x）是对数函数解：（1）∵（2

）即

的抽象函数，f（1）＝0，f（9）＝2。 ，∴f（1）＝0。

，从而有f（x）＋f（x－8）≤f（9），

，∵f（x）是（0，＋∞）上的增函数，故

，求：

。 时有

，则x＝k＋1时，

，∴x＝k＋1时，

，解之得：8＜x≤9。

例6、设函数y＝f（x）的反函数是y＝g（x）。如果f（ab）＝f（a）＋f（b），那么g（a＋b）＝g（a）·g（b）是否正确，试说明理由。

分析: 由题设条件可猜测y＝f（x）是对数函数的抽象函数，又∵y＝f（x）的反函数是y＝g（x），∴y＝g（x）必为指数函数的抽象函数，于是猜想g（a＋b）＝g（a）·g（b）正确。

解：设f（a）＝m，f（b）＝n，由于g（x）是f（x）的反函数，∴g（m）＝a，g（n）＝b

，从而

，∴g（m）·g（n）＝g（m＋n），以a、b分别代替上式中的m、n即得g（a

＋b）＝g（a）·g（b）。 4、三角函数型抽象函数

三角函数型抽象函数即由三角函数抽象而得到的函数。

例7、己知函数f（x）的定义域关于原点对称，且满足以下三条件：

①当是定义域中的数时，有；

②f（a）＝－1（a＞0，a是定义域中的一个数）； ③当0＜x＜2a时，f（x）＜0。

试问：（1）f（x）的奇偶性如何？说明理由。 （2）在（0，4a）上,f（x）的单调性如何？说明理由。 分析: 由题设知f（x）是

的抽象函数，从而由

及题设条件猜想：f（x）是奇函数且在（0，4a）上是增函数

（这里把a看成进行猜想）。

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