抽象函数习题精选精讲(7)

这与上面已证的

矛盾，因此，对任意

所以

评析：在处理抽象函数的问题时，往往需要对某些变量进行适当的赋值，这是一般向特殊转化的必要手段。 四、解析式问题

例5. 设对满足的所有实数x，函数满足，求f(x)的解析式。

解：在

中以代换其中x，得：

再在(1)

中以

代换

x，得

化简得：

评析：如果把x和分别看作两个变量，怎样实现由两个变量向一个变量的转化是解题关键。通常情况下，给某些变量适当赋值，使之在关系中“消失”，进而保留一个变量，是实现这种转化的重要策略。 五、单调性问题

例6. 设f(x)定义于实数集上，当上为增函数。 证明：在若所以当而

时，

，令，即有

中取，则 ；当

时，

时，

，且对于任意实数x、y，有

，求证：

在R

，得，与

矛盾

所以又当所以对任意设所以

时，

，恒有

，则

所以在R上为增函数。

评析：一般地，抽象函数所满足的关系式，应看作给定的运算法则，则变量的赋值或变量及数值的分解与组合都应尽量与已知式或所给关系式及所求的结果相关联。 六、奇偶性问题 例7. 已知函数性。 解：取又取再取

得：

则

为偶函数。

得：

对任意不等于零的实数

，所以，所以，即

都有

，试判断函数f(x)的奇偶

因为为非零函数，所以七、对称性问题

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