抽象函数习题精选精讲(8)

例8. 已知函数

满足

，求中取

的值。

，所以函数

的图象关于点（0，2002）对

解：已知式即在对称关系式

称。根据原函数与其反函数的关系，知函数所以

将上式中的x用

代换，得

的图象关于点（2002，0）对称。

对一切实数x都满

评析：这是同一个函数图象关于点成中心对称问题，在解题中使用了下述命题：设a、b均为常数，函数足

八、网络综合问题

，则函数

的图象关于点（a，b）成中心对称图形。

例9. 定义在R上的函数f(x)满足：对任意实数m，n，总有（

1）判断f(x)

的单调性； （2）设

， ，若

解：（1）在在因为当所以当而

时，时

中，令

中，令

，且当x>0时，0<f(x)<1。

，试确定a的取值范围。 ，得

，因为

，所以

。

所以

又当x=0时，设所以所以

，所以，综上可知，对于任意，则

，均有

在R上为减函数。

。

（2）由于函数y=f(x)在R上为减函数，所以即有又

，根据函数的单调性，有

由，所以直线与圆面无公共点。因此有，解得。

评析：（1）要讨论函数的单调性必然涉及到两个问题：一是f(0)的取值问题，二是f(x)>0的结论。这是解题的关键性步骤，完成这些要在抽象函数式中进行。由特殊到一般的解题思想，联想类比思维都有助于问题的思考和解决。

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