抽象函数习题精选精讲(6)

∵

，∴

，又

，故

。

抽象函数常见题型解法综述

抽象函数是指没有给出函数的具体解析式，只给出了一些体现函数特征的式子的一类函数。由于抽象函数表现形式的抽象性，使得这类问题成为函数内容的难点之一。本文就抽象函数常见题型及解法评析如下： 一、定义域问题 例1. 已知函数

的定义域是［1，2］，求f(x)的定义域。

，所以

中的

满足

中x的取值范围为A，据此求

的

解：的定义域是［1，2］，是指从而函数f(x)的定义域是［1，4］

评析：一般地，已知函数值域问题。 例2. 已知函数解：

的定义域是

的定义域是A，求f(x)的定义域问题，相当于已知

，求函数的定义域。 中，由此可得

的定义域是，意思是凡被f作用的对象都在

所以函数

的定义域是

的定义域。正确理解函数符号及其定义域的含义是求解，据此求x的取值范围。例2和例1形式上正相反。

评析：这类问题的一般形式是：已知函数f(x)的定义域是A，求函数此类问题的关键。这类问题实质上相当于已知二、求值问题

的值域B，且

例3. 已知定义域为的值。 解：取

的函数f(x)，同时满足下列条件：①，得

；②，求f(3)，f(9)

因为

又取

，所以

得

评析：通过观察已知与未知的联系，巧妙地赋值，取起来。赋值法是解此类问题的常用技巧。 三、值域问题

例4. 设函数f(x)定义于实数集上，对于任意实数x、y，求函数解：令若立矛盾，故由于

，则

，必有

对任意

。

的值域。

，得

，即有

或，对任意

，这样便把已知条件与欲求的f(3)沟通了

总成立，且存在，

使得，

。

均成立，这与存在实数

，使得

成

均成立，因此，对任意，有

下面来证明，对任意设存在

，使得

，则

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