抽象函数习题精选精讲(5)

解：（1）∵f（x）的定义域关于原点对称，且

是定义域中的数时有

，∴在定义域中。∵

，

∴f（x）是奇函数。

（2）设0＜x1＜x2＜2a，则0＜x2－x1＜2a，∵在（0，2a）上f（x）＜0，

∴f（x1），f（x2），f（x2－x1

）均小于零，进而知（0，2a）上f（x）是增函数。

中的，于是f（x1）＜ f（x2），∴在

又

＜x－2a＜2a，

，∵f（a）＝－1，∴，∴f（2a）＝0，设2a＜x＜4a，则0

，于是f（x）＞0，即在（2a，4a）上f（x）＞0。设2a＜x1＜x2＜4a，则0＜x2

－x1＜2a，从而知f（x1），f（x2）均大于零。f（x2－x1）＜0，∵，∴，即

f（x1）＜f（x2），即f（x）在（2a，4a）上也是增函数。综上所述，f（x）在（0，4a）上是增函数。

5、幂函数型抽象函数

幂函数型抽象函数，即由幂函数抽象而得到的函数。

例8、已知函数f（x）对任意实数x、y都有f（xy）＝f（x）·f（y），且f（－1）＝1，f（27）＝9，当（1）判断f（x）的奇偶性；

（2）判断f（x）在［0，＋∞）上的单调性，并给出证明； （3

）若

，求a的取值范围。

时，

。

分析：由题设可知f（x）是幂函数的抽象函数，从而可猜想f（x）是偶函数，且在［0，＋∞）上是增函数。

解：（1）令y＝－1，则f（－x）＝f（x）·f（－1），∵f（－1）＝1，∴

f（－x）＝f（x），f（x）为偶函数。

（2）设，∴，，

∵时，，∴，∴f（x1）＜f（x2），故f（x）在0，＋∞）上是增函数。

，

（3）∵f（27）＝9，又

∴，∴，∵，∴，

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