自动控制原理复习总结(精辟)(2)

例4: 已知系统结构图，试用劳斯稳定判据确定使闭环系统稳定的k 的取值范围。

R(s)-ks(s?s?1)(s?2)2C(s)解：?(s)?k整理，

s(s2?s?1)(s?2)?kk?(s)?4从高到低排列特征方程系数 32s?3s?3s?2s?kS4 S3 S2 S1 S0

列劳斯表：

1 3 7/3 (14-9 k)/7

k

3 2 k 0

k 0

14?9k?0,k?14/9，如果劳斯表中第一列的系数均为正值，因此，且k?0。所以0?k?14/9。 7七、※※※稳态误差以及减小或者消除稳态误差

1. 稳态误差定义：ess?lime(t)?limL?1[E(s)]?limL?1[?e(s)R(s)]

t??t??t??其中，误差传递函数?e(s)?E(s)1?,H(s)?1， R(s)H(s)[1?G(s)H(s)]E(s)1?,H(s)?1 R(s)1?G(s)?e(s)?2．终值定理法求稳态误差

如果有理函数sE(s)除了在原点有唯一的极点外，在s右半平面及虚轴解析，即sE(s)的极点均位于s左半平面（包括坐标原点），则根据终值定理可求稳态误差。

ess(?)?ess?limsE(s)?lims?e(s)R(s)

s?0s?0[注]：一般当输入是为阶跃、速度、加速度信号及其组合信号时，且系统稳定时，可应用终值定理求稳态误差。

3．系统型别ν-定义为开环传递函数在s平面的积分环节个数。

G(s)H(s)?KΠ(?is?1)sνΠ(Tjs?1)j?1i?1n?νm,n?m

其中，K：系统的开环增益（放大倍数），ν为型别。

4．基于静态误差系数的稳态误差---当-输入为阶跃、速度、加速度信号及其组合信号时，

KR? 静态位置误差系数 Kp?limG(s)?limν，ess?

s?0s?0s1?KpKR? 静态速度误差系数 Kv?limsG(s)?limν?1， ess?

s?0s?0sKvKR2? 静态加速度误差系数 Ka?limsG(s)?limν?2，ess?

s?0s?0sKa

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要求：根据给出系统开环传递函数和输入，能用静态误差系数能够求出稳态误差。

例5： 如图

R(s) _求系统当 k=10, 输入为 r(t)=1.5t.时的稳态误差。 解： 开环传递函数

ks(s?2)C(s) 105, ??1 ?s(s?2)s(0.5s?1)KR1.5因为 r(t)=1.5t,则Kv?limsG(s)?limν?1?5, 因此ess???0.3。

s?0s?0sKv55．减小或者消除稳态误差的方法：

G(s)?a. 增大开环放大倍数（开环增益）（在保证系统稳定的前提下） b. 提高系统的型别（在保证系统稳定的前提下）。 c. ※采用复合控制方法（要知道其原理）：包括输入补偿和扰动补偿两种，都可以消除稳态误差而不影响系统稳定性。

[注]：ess?limsE(s)?lims?e(s)R(s)若?e(s)零点包含输入信号的全部极点，则系统无稳态误

s?0s?0差。同理，essn?limsEn(s)?lims?en(s)N(s)，若?en(s)零点包含输入信号N(s)的全部极点，

s?0s?0则系统无稳态误差。

例6 2007一复合控制系统如图所示。

Gbc(s)R(s)-G1(s)2G2(s)C(s)

图中：G1(s)?K1,G2(s)?K2as?bs ,Gbc(s)?s(1?T1s)1?T2sK1、K2、T1、T2均为已知正值。当输入量r(t)= t2/2时，要求系统的稳态误差为零，试确定参数 a和b 。

解 系统闭环传递函数为

C(s)G2G1?G2GbcK2as2?bs，代入G1(s)?K1,G2(s)? ?(s)??,Gbc(s)?R(s)1?G1G2s(1?T1s)1?T2s321?G2GbcTTE(s)12s?(T1?T2?K2a)s?(1?K2b)s则?e(s)?（只适应于单位负?1??(s)??32R(s)1?G1G2TTs?(T?T)s?(1?KKT)s?KK121212212反馈系统）

欲使系统闭环系统响应速度输入R(s)?1/s3的稳态误差为0，即

32TTs?(T?T?Ka)s?(1?K2b)s112122 ess?limsE(s)?lims?e(s)R(s)?lims ，?e(s)应?3s?0s?0s?0TTs3?(T?T)s2?(1?KKT)s?KK121212212s该包含R(s)?1/s的全部极点。

3?T1?T2?K2aT1?T2，则a??K2?1?K2bb?1 K2[注]：要求会求误差传递函数，包括扰动下的误差传递函数（一般单位反馈）。

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第四章 线性系统的根轨迹法

要求： 根据给出系统结构图---求开环传递函数---得出根轨迹方程---化成标准形式—判断根轨迹类型---绘制根轨迹----完成对稳定性、动态性能和稳态性能的分析。

一、※※根轨迹定义：开环系统某一参数从 0??时，闭环系统特征方程式的根（闭环极

点）在[s]平面变化的轨迹。 [注]：根轨迹是闭环系统特征方程式的根的轨迹。 二、根轨迹法中开环传递函数的标准形式——零极点形式

k?(s?zj)G(s)H(s)?m?(s?p)ii?1j?1n,n?m，k称为开环系统根轨迹增益

[注]：变化的参数以规范形式k出现在分子上。

开环系统零极点形式表示，s项的系数为1； 三、根轨迹方程从哪里来？----※根据闭环系统特征方程 四、※※※根轨迹绘制的基本规则（180度和0度）（前8条）

[注]：180度和0度的差别主要是相角条件有关的不同。注：相角逆时针为正。 [注]：注意绘制的主要步骤必须有——因有步骤分，而且要标注上前头方向。

k(s?2)，试绘制系统的概略根轨迹。 2s?2s?3解：要判断是180°根轨迹还是0°根轨迹，根据根轨迹方程

例1：某负反馈系统的开环传递函数为G(s)H(s)?G(s)H(s)?k(s?2)??1。标准型——180°根轨迹

s2?2s?31：根轨迹的起点和终点。

起点p1??1?j2，p2??1?j2（有复极点有起始角），n?2 终点：z1??2m?1。

2：根轨迹的分支数。根轨迹的分支数=开环极点数。n?2---可以省略此步 3：根轨迹的对称性和连续性：根轨迹连续且对称于实轴。---可以省略此步 4：根轨迹的渐近线(与实轴的交点和夹角)。 n?m?1，与实轴的夹角?a?1800——负实轴。

p1z1-3.72-2-1p28

j如图：

5：根轨迹在实轴上的分布：

(??,?2]是根轨迹。

6：根轨迹的起始角和终止角(只有开环复极点，因此只有出射角)

?p1?1800??(p1?z1)??(p1?p2)?1800??(?1?j2?2)??(?1?j2?1?j2)?p1?1800?54.70?900?144.70，

利用对称性，则?p2??144.70

7：根轨迹与实轴的交点（根轨迹在实轴上的分离点与分离角）

(s2?2s?3)dkd(s2?2s?3)k???[?]?0 ，则

s?2dsdss?22因此，s?4s?1?0，所以

求出sx1??3.72,sx2??0.268（舍） 8：根轨迹与虚轴的交点。

k(s?2)?0 若将s?j?代入特征方程1?2s?2s?3 s2?2s?3?k(s?2)?0 所以令实部，虚部分别等于0得：

?2??k??0 ?2与虚轴没有交点

????3?2k?0分析系统的稳定性：——都稳定。

五、根据根轨迹分析系统性能---根据根轨迹判断稳定性※※※，求k值范围※※※，超调量，系统型别（看根轨迹原点处开环极点的个数）等。

例2：2008考题 已知系统结构图如下，要求

R(s)-E(s)0.25(s?a)s2(s?1)C(s)

1、绘制参数a:0??的根轨迹(要有主要步骤) （10分）； 2、确定使系统稳定的参数a的范围（2分）； 3、确定使系统阶跃响应无超调的参数a的范围（2分）； 4、确定使系统出现阶跃响应出现等幅振荡时的频率（1分）。

5、确定使系统出现阶跃响应出现衰减振荡时的参数a的范围（1分）。 解：

1、由题意得，系统特征方程为：

D(s)?s3?s2?0.25s?0.25a?0

5??s2s(?s?0. 25)则 0.2a 9

0.2a5??1（2分）。 2s(s?s?0.25)绘制参数a:0??的绘制1800根轨迹如下： （1）根轨迹的起点p1?0，p2?p3??0.5（1分），无开环有限零点； （2）根轨迹的分支数 n?3； （3）根轨迹的渐近线（1分）：m?0，n?m?3。 则根轨迹方程为：

0?0.5?0.51??

n?m33???3,l?0?(2l?1)???,l?0,?1?与实轴的夹角a??,l?1

n?m??l??1??,?3（4）实轴上的根轨迹：(??,0]（1分） （5）根轨迹与实轴的分离点（1分）

dad?[?4s(s2?s?0.25)]?0 dsds12s2?8s?1?0，求出与实轴交点:s1??0.5，s2??1/6。 与实轴的交点?a??p??zii?1j?1nmj?j j0.5 （6）根轨迹与虚轴的交点（1分）

※应用劳斯稳定判据的特殊形式，列劳斯表：

s310.25p2,3 p1 0 -0.5 -1/6 s210.25a

s10.25(1?a)0s00.25a21当a?1，s为全零行，此时构筑辅助方程s?0.25?0，则s??j0.5。 则根轨迹如下（3分）：

2、0?a?1系统稳定（2分）；

3、当根轨迹在分离点s2??1/6处，对应的

2 a??4s(s2?s?0.25)|1?s??2762 则当0?a?阶跃响应无超调（2分）。

274、s?j?，则系统出现等幅振荡时的振荡频率??0.5（1分）

-j0.5 5、

2?a?0.5（1分） 27 [注]：如果是参数根轨迹，根据闭环系统特征方程得出根轨迹方程，并将其化成标准形式。

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