自动控制原理复习总结(精辟)(3)

第五章 线性系统的频域分析法——第六章的基础

要求：1） 绘制出频率响应曲线开环幅相曲线或开环对数渐近幅频特性曲线（Bode图）---补线-应用奈奎斯特稳定判据判断系统稳定性及系统稳定的参数范围。

2）※※※利用开环对数幅频渐近特性确定最小相位系统的传递函数 一、频域分析法中开环传递函数的标准形式为

K?(?js?1)G(s)H(s)?s?m?(Tis?1)i?1j?1n??,n?m——时间常数形式

二、最小相位系统开环幅相曲线的绘制

K?(?js?1)G(s)H(s)?s??(Tis?1)i?1j?1n??m,n?m,K?0,Ti?0,?j?0

1）极坐标图的起点： limG(j?)???0?KK?0??(??)?(0)???90 ， ?(j?)???2K?(j?j??1)(j?)??(jTi??1)i?1j?1n??m2）极坐标图的终点：：当???时，limG(j?)?????0??(n?m)900。

3）与实轴交点 Im[G(j?)H(j?)]?0----?----Re[G(j?)H(j?)]

4）从起点到终点的相角及与实轴交点位置共同决定曲线所在象限。K 值变化仅改变幅相曲线的幅值及与实轴交点的位置，不改变其形状。 [注]：用箭头表示频率?增大的方向。

例1 （P198）I型单位反馈控制系统开环传递函数为

G(s)?绘制开环幅相曲线。

K ，K,T1,T2?0；s(T1s?1)(T2s?1)2K[??(T1?T2)?j(1?TTK12?)]解：频率响应 G(j?)H(j?)? ?j?(1?jT1?)(1?jT2?)?(1?T12?2)(1?T22?2)1）起点：??0? A(?)??，?(?)???2；

2）终点：??? A(?)?0，?(?)??3?（因为：(n?m)?3），说明整个幅相曲线在II，III象限。 211

3）与负实轴的交点：令Im?0??? 2?K(T1?T2)??KTT112，则Re?。则 ?2222?(1?T?)(1?T?)T?TTT121212?KT1T2T1?T2j 0 ?K(T1?T2)可见，K 值变化仅改变幅相曲线的幅值及与负实轴交点的位置，不改变幅相曲线的形状。 三、最小相位系统开环对数渐近幅频特性曲线（Bode图）的绘制

(1) 将开环传递函数分解成典型环节乘积的形式(尾“1”型)；

m K?(j?j??1)G(j?)H(j?)?(j?)??(jTi??1)i?1j?1n??,n?m,K?0,Ti?0,?j?0

(2)

将各典型环节的转折频率由低到高从左向右依次标注在横轴上（不妨设为：?1,?2,?3,?4,），

将???1（最小转折频率）的频率范围设为低频段。 （3）在低频段，开环对数渐近幅频特性

La????20lgKv??20Klg?v2?0 lg可见，其直线斜率为－20v。但是要画出这低频段渐近特性直线，还必须确定该直线或其延长线上一点

（P202）：

法1：在小于第一个转折频率内任选一点?0??1，计算 La(?0)?20lgK?20vlg?0。--常用 法2：取特定频率?0?1，计算La(?0)?20lgK。 法3：取La(?0)为特殊值0，则

K1?0??1，则计算出?0?K。

?（4）从低频以后，沿频率增大的方向，每遇到一个转折频率就改变直线斜率，变化规律取决于该转折频率对应的典型环节种类。

如果典型环节为惯性环节或振荡环节，在交接频率之后，斜率要减小20dB/dec或40 db/dec；如果典型环节为一阶微分环节或二阶微分环节，在交接频率之后，斜率要增加20db/dec或40 db/dec。即一阶20dB/dec的整数倍，二阶40dB/dec的整数倍。

（5）绘出用渐近线表示的对数幅频特性以后，如果需要，可以进行修正。通常只需修正转折频率处幅值就可以了。对于一阶项，在转折频率处的修正值为±3dB；对于二阶项，在转折频率处的修正值可由公式求出。 --一般不用修正。 例2 已知G(s)?K(50s?1)，绘制Bode图。

s(500s?1)(5s?1)(s?1)解：

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L(?)60524020dB-20 dB/dec-40dB/dec-20dB/dec?c0.0010.0020.010.020.10.21-40dB/dec?-60dB/dec

四、※※※利用开环对数幅频渐近特性确定最小相位系统的传递函数

1）确定系统积分或微分环节的个数(利用低频段低频渐近线斜率为?20?dB/dec)。

La????20lgK?v?20lgK?20vlg?

2）确定系统其他环节(根据转折频率前后斜率变化判断对应的环节类型，利用转折频率倒数确定时间常数)

图中每次遇到一个交接频率改变一次分段直线的斜率。且斜率的变化对应这环节的类型。在交接频率之后，斜率要减小20db/dec或40 db/de为惯性环节或振荡环节；斜率要增加20db/dec或40 db/dec对应一阶微分环节或二阶微分环节。

3） ※※※参数K的确定：已知低频段或其延长线上一点确定La????20lg例3

K?v?20lgK?20vlg?）。

L(?)(dB)?20dB/decade510100??40dB/decade?20dB/decade1K(s?1)解：1) 100G(s)?1s(s?1)5

K2) 20lg??20Klg?2?0l?g K0?10

110(s?1)3) G(s)?100

1s(s?1)5特别指出，半对数坐标系中求斜率：

L??2??L??1? k=

lg?2?lg?1

例4 （见幻灯片) 已知最小相角系统开环对数渐近幅频曲线，求开环传递函数）。

解：1)确定结构: 最左端直线的斜率为-40 db/dec，?20v??40，故而有2个积分环节。因为从ω1起,近似对数幅频曲线斜率变化20 db/dec和40 db/dec,故为1阶微分环节和2阶微分环节。于是系统的传递函数为：

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G(s)?K(s/?2?1)

s2(s/?3?1)2)确定K: 法一）最左端直线的延长线和零分贝线的交点频率为?0，20lgK?20vlg?0?20lgK?40lg?0?0，则K??02。 斜率：-40=

L(?)dB??20?H0?H，-20=，则c=(0)，则K??02??c?2。

lg?0?lg?2lg?c?lg?2?2?2-40dB/decH-20 dB/dec?1?0?c?2-40dB/dec?

法二）：

dB

L(?)-40dB/dec1 -20 dB/decK??02??c?2?2?0?c?3-40dB/dec?2

（已知?c），在?c处，直线1和2的纵坐标之和为0，即L(?c)?L1(?c)?L2(?c)?0。

20=L1(?c)?0L2(?c)?0 ?40=

lg?c?lg?2(lg?c?lg?0)?02因此?40(lg?c?lg?0)?20(lg?c?lg?2)?0。则?c?，则?0??c?2 ?2五. ※ ※※频率域稳定判据

1．奈奎斯特稳定判据：闭环系统稳定的充分必要条件是闭合曲线?GH不穿越（-1，j0）点，且逆时针围绕(?1,j0)点 P 次。记为：

R(?2N)?P

其中：N为半闭合曲线ΓGH穿越(?1,j0)点左侧的的次数和。相角增大为正穿越 ΓGH ：当??0：通常，只需绘制0????的半条ΓGH曲线，即开环幅相曲线。 当??0：当G(s)H(s)有虚轴上的极点时，绘制0????的半条ΓGH曲线外，半闭合曲线还要从

??0?出发，以无穷大为半径，逆时针转过νπ/2 后的虚线圆弧, 箭头指向 ??0?。箭头指向?增大的

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方向 。

例5 设某单位反馈系统的开环传递函数为 G(s)H(s)?应用Nyquist判据判别闭环系统的稳定性

j4??11?10?2?j?(1?8?2)解： G(j?)? ?22222??[(1?2?)?9?]?j??(j??1)(j2??1)1）绘制Nyquist曲线

起点：

(4s?1) 2s(s?1)(2s?1)??0?,A(?)???(?)??1800(??2)

A(?)?0?(?)??2700(n?m?3)

幅相曲线与负实轴有交点，可令ImG(jω)H(jω)=0,得ω2=1/8，ω=0.354。此时， ReG(jω)H(jω)= -10.67，即幅相曲线与负实轴的交点为(-10.67, j0)。

2）补线：位由于有一个交点，因此ω=0+在实轴下面。开环系统有两个极点在s平面的坐标原点，因此幅相曲线应从ω=0+开始，以无穷大半径逆时针补画180度，箭头指向ω=0+。如图。

终点：???,j ?1 v?2??0?-10.67??? 0 ? 3) 由图可见，N =-1，即R=-2。系统无开环极点位于s平面的右半部，故P=0，所以Z=2，即系统不稳定，并有两个闭环极点在s平面的右侧。

K ，试求使系统稳定的K值范围。

s(T1s?1)(T2s?1)解：1)首先作Nyquist曲线图，只求图过(?1,j0)点的K值范围。

例5-2：设系统的开环传递函数为G(s)H(s)?2K[??(T1?T2)?j(1?TT?)]K122)代入s?j?，G(j?)? ?2222j?(1?jT1?)(1?jT2?)?(1?T1?)(1?T2?)利用相频条件与幅频条件，则|G(j?)H(j?)|?1，?G(j?)H(j?)??1800。

因此，一定与与负实轴有交点，其交点坐标为： 令：Im?0???2?KTTT?T112，因为A(?)?1，所以，ReG(j?)???1，因此，K?12 TTT1?T2TT1212即此时满足正好穿过(?1,j0)点。

3）分析：因为P=0，要使系统稳定，则N?0，因此，?GH不包围(?1,j0)点，则幅相曲线与实轴的交点在(?1,j0)的右边。

T?TT?T当K?12，正好穿过(?1,j0)，当K?12，正好在(?1,j0)的右边，此时R?N?0，

TTTT1212T?T系统稳定。因此系统稳定的K值范围为：0?K?12。

TT122007例：已知某系统当开环增益K?20时的开环频率特性Nyquist图如下图所示。该系统

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