自动控制原理复习总结(精辟)(5)

第八章 非线性系统分析

要求：能用描述函数法分析非线性系统稳定性和出现自持振荡时的振幅和频率。

能用相平面法分析非线性系统稳定性和出现自持振荡时的稳态误差及超调量（即振幅）。 [注] ：一般描述函数法和相平面法二选其一即可分析非线性系统性能。

一、描述函数法：----※※熟练掌握运用描述函数法分析非线性系统的稳定性，判断是否产生自持振荡；※※※如果自持振荡，正确计算产生自持振荡的振幅和频率；

1．描述函数的物理意义P411：用描述函数N(A)来代替系统中的非线性环节，描述函数N(A)更象一个放大器，其放大倍数是随正弦输入振幅的变化而改变的复数。故描述函数又称为复放大系数。设非线性控制系统经化简后其方块图如图所示，

设图中：N(A)——非线性的描述函数。

N(A) G(s) r≡0 x

假设系统具有应用描述函数的条件，故非线性特性用描述函数代替。

G(j?)——系统线性部分的频率特性。

N(A)G(s)则系统的闭环传递函数为：?(s)?

1?N(A)G(s)非线性系统对应的闭环特征方程：1?N(A)G(s)?0，这里N(A)为非线性特性描述函数。 用频率响应可表示为： 1?N(A)G(j?)?0

1则 G(j?)??

N(A)非线性系统的Nyquist稳定判据的特征方程N(A)G(j?)??1。因N(A)G(j?)曲线很难绘制，应用Nyquist稳定判据的特征方程等价于负倒描述函数G(j?)??1/N(A)。

2．※※※运用描述函数法分析非线性系统的稳定性非线性系统的稳定性判定规则（P=0）

N(A)——非线性的描述函数，A?0??，箭头表示A增大的方向。 G(j?)——系统线性部分的频率特性，??0??

1要判断系统的稳定性，只要在复平面上同时绘出G(j?)和?曲线，然后根据它们的相

N(A)对位置来判断非线性系统的稳定性。这就是Nguist判据在非线性系统中的推广应用。

1 1）如果沿线性部分的频率响应G(j?)由??0向???移动时，非线性的?曲线始

N(A)1终处于G(j?)的左侧，即为G(j?)曲线不包围? 曲线，则非线性系统稳定。对于N(A)11?曲线来说，随着?增长方向的右侧为不稳定区。只要?曲线不进入这个区域，N(A)N(A)整个非线性系统就稳定。越远离这个不稳定区域，稳定程度越高。

2)如果沿线性部分的频率响应G(j?)由??0向???移动时，非线性?于G(j?)曲线的右侧，即为G(j?)曲线包围?

1曲线始终处N(A)1曲线，则非线性系统不稳定。 N(A)21

3) 如果曲线G(j?)与曲线?1相交，非线性控制系统在交点处可能出现自持振荡。判断N(A)原则：沿 A?方向，

1 ①?由稳定区进入不稳定区——不稳定平衡点；

N(A)1 ②?由不稳定区进入稳定区——稳定平衡点，并产生自持振荡。自持振荡的频率和

N(A)振幅为交点处的A和?。

Re[G(j?)N(A)]??1即满足：?1/N(A)?G(j?)，或者用来求得。

Im[G(j?)N(A)]?01[注]：判别工作点是否稳定 ，一定要掌握?轨迹上振幅A的增长方向，并把它标在轨N(A)迹上，否则容易得出错误的结论。

1，然后判断稳定性。 N(A)例1：2007：非线性控制系统如下图所示。

1) 试用描述函数法分析a=1，b=2，k=10时，系统的稳定性。 2) 若系统存在自持振荡，计算自持振荡的振幅和频率。 3)阐述消除自持振荡的方法。

[注]：一般 N(A)已知，让你求出?r-b0aks(s?1)(s?2)

2c

4b?a?1???） （注：非线性控制系统的描述函数为：N(A)??A?A?解：1)由题意可知，线性部分的频率特性及负倒描述函数如图所示。 4b?a?1???，当A?2a时，负倒描述函数有极值， 非线性部分：N(A)??A?A?1?a?极值为???????0.785 （1分）

N(Am)2b4线性部分：

kkG(j?)??j?(j??1)(j??2)?3?2?j(2???3) 23?3k??k(2???)??j(?3?2)2?(2???3)2(?3?2)2?(2???3)2??0 令Im?0，则 ，取??2 （1分）

???2k10 代入ReG(j?)??????1.67 （1分）

66

22

21 N(Am)所以有交点，则系统存在自持振荡，（2分）

11?A102）由???????

22N(A)64b?a??1?1???81????A?A??A?得A1?1.03、A2?4.1； （2分）

因为 ReG(j?)??有图可知，当A1?1.03，??2时，是不稳定的平衡点，不发生自持振荡 当A2?4.1，??2时，是稳定的平衡点，产生自持振荡（3分） 3）（5分）

(1) 改变线性特性的参数，使G(j?)曲线不与?1/N(A)曲线相交； (2) 改变非线性特性的参数，使?1/N(A)曲线不与G(j?)曲线相交； (3) 增加校正环节，改变G(j?)曲线形状，不与?1/N(A)曲线相交。 二．相平面法： 要求：

1.正确求出对于非线性系统在每个线性区的相轨迹方程，也就是e?e之间关系的方程（或

c?c）。会画相轨迹（模型中是给具体数的）。※※关键是确定开关线方程。

2. ※※※如果发生自持振荡，计算振幅和周期。

例2：已知r(t)?4?1(t)，

1）给出起点在e0?0，e0?0的相轨迹图e?e。(10分) 2）计算相轨迹旋转一周所需时间和振幅。(5分) r+-ek=102x1s2c

解：1）设系统结构图，死区特性的表达式：

?x?0,|e|?2数学表达式：??x?e?2,e?2

?x?e?2,e??2?因为线性部分：

C(s)1?2，则微分方程为：c?x X(s)s因为e?r?c，c?r?e，c?r?e，c?r?e。代入则

e??x?r （1）

|e|?2??I?e?0,?当t?0，r?0，r?0。代入，则?e?2?e,e?2???II

?e??e?2,e??2???III?则系统开关线关线：e??2。

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?分为3个线性区。 由于非线性环节有3个分区，相平面e?e

e

2 C e -4 0 D A I II III

由题意知初始条件e(0)?4，e(0)?0在II区，则从初始值出发绘制相轨迹： II区： e?e-2?0 不是标准形式 ( e=0且e=0，则e?2，所以奇点（2， 0））特征方程：s2?1?0，（或者用解析法求） s??j,奇点对应着中心点——没有一阶导数。

0） 结论：II区以奇点（2，为中心的圆，与右开关线e?2的交点A（2，-2）

I区：e?0，e?C?2，水平线，与左开关线e??2的交点B（-2，-2） III区：e?e?2?0 ， ( e=0且e=0，则e??2，所以奇点（-2， 0）特征方程：s?1?0，（或者用解析法求） s??j,奇点对应着中心点——没有一阶导数。

20）结论：III区以奇点（-2，为中心的圆。以此例推，出现了一个封闭椭圆。——极限环 2）相平面中出现了稳定的极限环——对应着非线性的自持振荡。 问题：自持振荡的周期怎么算呢？幅值怎么算呢？如图： 这是个椭圆，1）周期：T?4(tCA?tAD)

de，de2?(?)?ede（ ?e22 e?201011tAD??de??de?

1e122振幅——代表此时的位移，也就是此时与横轴的交点位置大小——即C点的横坐标。 例3 ：2008年 非线性控制系统如下图所示。图中r(t)?2?1(t)。

tCA?4?221de??4e1e2→ e?2 e?）

21、以c?c为相变量，写出相轨迹分区运动方程（8分）； 2、若M=0.5，画出起始于c(0)?0、c(0)?0的相轨迹（4分）； 3、利用相轨迹计算稳态误差及超调量（3分）。

r-e-1sM0?1scb

解：1）（8分）根据系统结构图可得：

1区

2区

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?c?0?M b??c?0???M各区的运动方程：

I区 ?c?0?c?r?c?M?c?c?2?M ?II区 c?0??c?r?c?M?c?c?2?M开关线：c?0

dcc?2?M??2）（4分）I区： dcc (c?2?M)2?c2?A12，当M?0.5时，A1?1.5，

所以：(c?1.5)2?c2?1.52 轨迹为圆，奇点为c?2?M，c?0 II区：(c?2?M)2?c2?A22，当M?0.5时，A2?0.5， 所以：(c?2.5)2?c2?0.52 轨迹为圆，奇点为c?2?M，c?0 则起点为（0，0）的相轨迹如图：

c32 3）（3分）稳态误差：0

3?2=50% 超调量： ?p%?2

GOOD LUCK！

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