工程力学教案 (详细讲稿)(5)

图3－5

反之，若已知力F 在坐标轴上的投影X、Y，则该力的大小及方向余弦为

F?X2?Y2??X? （3－4） cos??F??应当注意，力的投影和力的分量是两个不同的概念。投影是代数量，而分力是矢量；

投影无所谓作用点，而分力作用点必须作用在原力的作用点上。另外仅在直角坐标系中在坐标上的投影的绝对值和力沿该轴的分量的大小相等。

二、合力投影定理

设一平面汇交力系由F1、F2、F3和F4作用于刚体上，其力的多边形abcde如图3－6所示，封闭边ae表示该力系的合力矢FR，在力的多边形所在平面内取一坐标系oxy，将所有的力矢都投影到x轴和y轴上。得

X=a1e1, X1=a1b1, X2=b1c1，X3=c1d1 ,X4=d1e1

由图3－6可知

a1e1=a1b1+b1c1+c1d1 +d1e1

即 X=X1+X2+X3+X4 同理 Y=Y1+Y2+Y3+Y4

将上述关系式推广到任意平面汇交力系的情形，得

X?X1?X2???Xn??X?? （3－5）

Y?Y1?Y2???Yn??Y?

图3－6

即合力在任一轴上的投影，等于各分力在同一轴上投影的代数和，这就是合力投影定理。

三、平面汇交力系合成的解析法

用解析法求平面汇交力系的合成时，首先在其所在的平面内选定坐标系oxy。求出力系中各力在x2轴和y FR?X2?Y?(?X轴上的投影，由合力投影定理得)2?(?Y)2??X?X? （3－6）

cos????FRFR分别与FR其中α是合力X、?Y轴正向所夹的锐角。

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例3－3 如图3－7所求，固定圆环作用有四根绳索，其拉力分别为F1＝0.2kN，F2＝0.3kN,F3=0.5kN,F4=0.4kN,它们与轴的夹角分别为α1＝30o，α2＝45o，α3＝0，α4＝60o。试求它们的合力大小和方向。

图3－7

解 建立如图3－7所示直角坐标系。根据合力投影定理，有

X=ΣX＝X1+X2+X3+X4＝F1cosα1＋F2 cosα2＋F3 cosα3＋F4 cosα4=1.085kN Y=ΣY＝Y1+Y2+Y3+Y4＝F1sinα1＋F2 sinα2＋F3sinα3－F4 sinα4=－0.234kN 由ΣX、ΣY的代数值可知，X沿X轴的正向，Y沿Y轴的负向。由式（3－6）得合力的大小

FR?(?X)2?(?Y)2?1.11kN

方向为

?Xcos???0.977

FR解得 α＝12o12＇ 四、平面汇交力系平衡的解析条件

我们已经知道平面汇交力系平衡的必要与充分条件上其合力等于零，即FR＝0。由式（3－6）可知，要使FR＝0，须有

ΣX=0 ；ΣY=0 （3－8）

上式表明，平面汇交力系平衡的必要与充分条件是：力系中各力在力系所在平面内两个相交轴上投影的代数和同时为零。式（3－8）称为平面汇交力系的平衡方程。 式（2－8）是由两个独立的平衡方程组成的，故用平面汇交力系的平衡方程只能求解两个未知量。

例3－4 重量为G和重物，放置在倾角为α的光滑斜面上（如图3－8），试求保持重物成平衡时需沿斜面方向所加的力F和重物对斜面的压力FN。

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图3－8

解 以重物为研究对象。重物受到重力G、拉力F和斜面对重物的作用力FN，其受力图如图3－8b所示。取坐标系oxy，列平衡方程

ΣX=0 Gsinα－F=0 (1) ΣY=0 －Gcosα+FN=0 (2) 解得 F＝ Gsinα FN＝Gcosα

则重物对斜面的压力FN＇＝Gcosα，指向和相反。

例3－5 重G＝20kN的物体被绞车匀速吊起，绞车的绳子绕过光滑的定滑轮A（图3－9a），滑轮由不计重量的杆AB、AC支撑，A、B、C三点均为光滑铰链。试求AB、AC所受的力。

图3－9

解 杆AB和AC都是二力杆，其受力如图3－9b所示。假设两杆都受拉。取滑轮连同销钉A为研究对象。重物G通过绳索直接加在滑轮的一边。在其匀速上升时，拉力FT1＝G，而绳索又在滑轮的另一边施加同样大小的拉力，即FT1＝FT2。受力图如图3－9c所示，取坐标系Axy。

列平衡方程

32由 ΣX=0 ?FAC22?FT222?FT1?0

4?31?2解得 FAC＝－63.2kN

41由 ΣY=0 ?FAB?FAC22?FT222?0

4?31?2解得 FAB＝41.6kN

力FAC是负值，表示该力的假设方向与实际方向相反，因此杆AC是受压杆。 例3－6 连杆机构由三个无重杆铰接组成（如图3－10a），在铰B处施加一已知的竖向力FB，要使机构处于平衡状态，试问在铰C处施加的力FC应取何值？

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图3－10

解 这是一个物体系统的平衡问题。从整个机构来看，它受四个力FB、FC、FA、FD不是平面汇交力系（图a），所以不能取整体作为研究对象求解。要求解的未知力F作用于铰C上，铰C受平面汇交力系的作用，所以应该通过研究铰C的平衡来求解。

铰C除受未知力FC外，还受到二力杆BC和DC的约束反力FAB和FBC和作用（图c）。这三个力都是未知的，只要能求出FAB和FBC之中的任意一个，就能根据铰C的平衡求出力FC。

铰B除受已知力FB的作用外，还受到二力杆AB和BC杆的约束反力FBA和FBC

的作用。通过研究铰B的平衡可以求了BC杆的约束反力FBC。

综合以上分析结果，得到本题的解题思路：先以铰B为脱离体求BC杆的反力FBC；再以铰C为脱离体，求未知力FC。

(1)取铰B为脱离体，其受力图如图（b）所示。因为只需求反力FBC，所以选取x轴与不需求出的力FBA垂直。由平衡方程

ΣX=0 FBcos45o+FBCcos45o=0

解得 FBC=－FB

（2）取C为脱离体，其受力图如图（c）所示。图上力FCB的大小是已知的，即FCB＝FBC＝－FB。为求力FC的大小，选取x轴与反力FCD垂直，由平衡方程

ΣX=0 －FCB－FBCcos45o=0

解得 FC?2FB

通过以上分析和求解过程可以看出，在求解平衡问题时，要恰当地选取脱离体，恰当地选取坐标轴，以最简捷、合理的途径完成求解工作。尽量避免求解联立方程，以提高计算的工作效率。这些都是求解平衡问题所必须注意的。

思考题

3－1 如图3－11所示的平面汇交力系的各力多边形中，各代表什么意义？

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图3－11

3－2 如图3－12所示，已知力F大小和其与x轴正向的夹角θ，试问能否求出此力在x轴上的投影？能否求出此力沿x轴方向的分力？

图3－12

3－3 同一个力在两个互相平行的轴上的投影有何关系？如果两个力在同一轴上的投影相等，问这两个力的大小是否一定相等？

3－4 平面汇交力系在任意两根轴上的投影的代数和分别等于零，则力系必平衡，对吗？为什么？ 3－5 若选择同一平面内的三个轴x、y和z，其中x轴垂直于y轴，而z轴是任意的（图3－13），若作用在物体上的平面汇交力系满足下列方程式：

ΣX=0 ΣY=0

能否说明该力系一定满足下列方程式：ΣZ=0试说明理由。

图3-13

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