傅里叶级数和傅里叶变换(4)

（3） 当函数f(x)延拓成如图9.6（d）所示的负侧为零的函数时，其傅里叶级数为

f(x)?a8a?12?16???2?2cosx?2cosx?...?4??2ll6??4a?1?13?? sinx?sinx?...22?ll?2?13??由此可见，给f(x)在?0,l?区间之外赋予不同的定义，可以得到不同的傅里叶级数，也就是说，这种问题不能得到惟一解，或不确定。

以前曾断言，任意周期函数（当然要满足狄利克雷条件）均可按三角函数系(9.1.2) 展 开成傅里叶级数。换句话说，如果我们要将f(x)展开成傅里叶级数，就意味着要将它周期延拓到整个区间???,??。于是必须具备两个条件：（1）周期确定；（2）一个周期内的函数形式确定。

对于函数f(x)，如果除了在?0,l?区间上有定义外，同时还给出了x=0与x=l两端的边界条件，那么将f(x)周期延拓到整个区间的方式也就确定了。因此，函数f(x)的傅里叶级数也就同时确定了。

§9.6 复指数形式的傅里叶级数

以前我们讨论过，在区间??l,l?上绝对可积的周期函数f(x)可作出它的傅里叶级数，即

a0?k?k?f(x)???(akcosx?bksinx) （9.6.1）

2k?1ll式中

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1lk? ak??f(?)cos?d? （k=0,1,2,?） （9.6.2a）

l?ll1lk? bk??f(?)sin?d? （k=1,2,3，?） （9.6.2b）

l?ll利用欧拉公式

i??? cos??1?e?i?) sin2(e1i?(e?e?i?) （9.6.3） 2i也可将式（9.6.1）改写成

k?k???a0(ak?ibk)ilx(ak?ibk)?ilx?f(x)????e?e? （9.6.4）

2k?1?22?若令 c0?a0a?ibk， ck?k， 22c?k?ak?ibk （k=1,2,3，?） 2 （9.6.5） 则

f(x)?式中

k????cek?ik?xl （9.6.6）

?i1lck??f(?)e2l?lk??ld? （9.6.7）

事实上，函数系{eik?xl}(k?0,?1,?2,...)在??l,l?区间也构成完备正交系，因为他们不过

是正弦和余弦三角函数的重新组合而已。复变函数系仅在正交性定义上略有不同，即将原来的正交性定义

??(x)?aibj(x)dx???0;(i?j)?0;(i?j)

改成

?其中?i(x)是?i(x)的共轭复数

*ba0;(i?j)?i*(x)?j(x)dx????0;(i?j)

由ck和ak与bk之间的关系式（6.7.5）可知ck=(c?k)*，即系数ck和c?k互为共轭复数。

§9.7 傅里叶展开与罗朗展开的联系

若f(z)在环1???z?1??内解析，其罗朗级数为

f(z)??ckzk， ck????12?z?1?f(z)dz （9.7.1） zk?1而?(?)在区间?0,2??连续，且为2?的周期函数，其傅里叶级数为

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?(?)?k????ckeik? ck??12??2?0?(?)e?ik?d? （9.7.2）

i?若将式（9.7.1）系数ck的积分中的z代换成z?e，就会发现上面二式中的ck是一致的，特别是?(?)为cos?与sin?的有理函数时，为了求?(?)得傅里叶级数，先将?(?)通过代换z?e变成f(z)的函数，再将f(z)进行罗朗展开，最后通过代换z?ei?，就可以i?得到?(?)的傅里叶级数。

例9.7.1 求?(?)=

11?2acos??a2(a?1)得傅里叶级数。 1解 在?(?)中，令z?ei?，cos??z?z?2，得

??f(z)?11?a(z?z?1)?a2?z1?11??a(1?az)(1?z?1?a2??z?

a)?1?az??1?a???因为

a?1???z?1???1a 所以

az?1及az?1 11?az?1?az?(az)2?... a?12?z??a??a?1?za1?a??z?????z???...

z于是

f(z)?1???1?a???z?1??kz???...?ak?k?1????1?a2?z????z?????...???

?上式中令z?ei?，得?(?)得傅里叶级数

?(?)=

1??1?a2??1?2?akcosk??? （ a<1）

k?1?同理可得

18

?1??k （a>1） ?(?)=21?2acosk????a?1?k?1?§9.8 傅里叶积分与变换

9.8.1

傅里叶积分

本节内容与§9.5不同，在那里函数仅在(0,l)上有定义，而(0,l)外没有定义。而本节中要讨论的函数f(x)在整个区间???,??上都有定义，且明确它是一个非周期函数。但是，我们可以将它看作是由某个周期函数gL(x)，当L??时的极限情形。为此，我们这样来定义函数gL(x)：在??L,L?区间内，令

gL(x)=f(x) (?L?x?L) (9.8.1)

然后以2L为周期延拓到整个区间???,??上，于是gL(x)的傅里叶级数为

a0?k?k?gL(x)???(akcosx?bksinx) (9.8.2)

2k?1LL其中

1Lk?f(?)cos?d? （k=0,1,2,?） (9.8.3a) ??LLL1Lk?bk??f(?)sin?d? （k=1,2,3，?） (9.8.3b)

?LLLak?将式（9.8.3）代入（9.8.3.2）中，得

1L1?Lk?gL(x)=f(?)d??f(?)cos(x??)d? （9.8.4） ????L?L2LLk?1L令 ?k?k??,????k?1??k?,当L??时，求和变成积分 LL?1?limgL(x)??d??f(?)cos?(x??)d? （9.8.5）

L???0??从式（9.8.4）到式（9.8.5），删除了（9.8.4）右端第一项，因为f(x)满足可积的要求。

当L??时，gL(x)的极限是否会给出预期的结果f(x)？决定于如下积分

??1?0d?????f(?)cos?(x??)d? （9.8.6）

?是否收敛？收敛到什么函数？因为

????f(?)cos?(x??)d?????f(?)d? （9.8.7）

由于上式右端收敛，所以左端绝对一致收敛，因此，式（9.8.6）可以交换积分的次序

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1? =

?1?0d??????f(?)cos?(x??)d?

NN??0????f(?)[lim?cos?(x??)d?]d?

=

???????sinN(x??)?f(?)?lim?d? N???(x??)??f(?)?(x??)d??1?f(x?0)?f(x?0)? （9.8.8） 2 =

??上式证明了，当L??时，gL(x)平均收敛到f(x)。因此，

f(x)=

1???0d?????f(?)cos?(x??)d? （9.8.9）

9.8.2 傅里叶变换

可以把式（9.8.9）的傅里叶积分表示为复数形式。为此，利用欧拉公式

cos?(??x)?将式（9.8.8）改写成

1i?(??x)e?e?i?(??x) 2??f(x)?12???0????f(?)ei?(??x)d?d??12???0????f(?)e?i?(??x)d?d?

把上面等式右端第一个积分的积分变量由?变成-?，就得到

f(x)??1??2????2?1??????f(?)e?i??d??e?i?xd? （9.8.10）

?现在我们定义一函数F(?)，它称为f(x)的傅里叶变换，其表示为

F(?)?而其逆变换为

12??????f(?)e?i??d? （9.8.11a）

f(x)?12????F(?)e?i?xd? (9.8.11b)

以上两式又叫对称型的傅里叶变换。其实并不完全对称，因为两式中的i前的符号仍不同。

（a） 若f(x)是偶函数，我们用fc(x)表示，则有

fc(x)=fc(?x)

因此

Fc(?)?12?????fc(?)(cos???isin??)d?

=

2???0fc(?)cos??d? （9.8.12a）

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