傅里叶级数和傅里叶变换(6)

所以 于是

??f0?S(x)?dx??FS(?)d?

22??0?2??1?2x?? d??edx????1??2?0?2??2??0???? 证毕 d????24?1???表9-1 傅里叶变换基本公式

原函数f(x) 2性质 线性 位移 像函数F(?) c1F1(?)?c2F2(?) c1f1(x)?c2f2(x) e?i?x0F(?) F(???0) f(x?x0) e?i?0xf(x) f(ax) 相似 1?F() aa微分 (i?)nF(?) F(n)(?) f(n)(x) (?ix)nf(x) 积分 1F(?) i??xx0f(?)d? ?卷积 ???F(z)dz ?1f(x) ixF(?)G(?) ?2?11???f(x??)g(?)d? Fc(?)Gc(?) ?gc(?)?fc?x????fc?x????d? ?02??gs(?)?fs?x????fs?x????d? ?02?1Fs(?)Gs(?)

26

表9-2 几个常用的恒等式

1 2 3 4

表9-3 傅里叶变换简表

1 ????f1(x)f2(x)dx??F(?)F2(?)d???F1(?)F2*(?)d? ?????*1???f(x)?dx??????2????F(?)d? 22??f???c(x)?dx??Fc(?)d? ???2??f??s(x)?dx??Fs(?)d? ??22f(x) F(?)???f(x)? H(x)?1 ?1,x?00,x?0 1?1? ???(?)??i?2???2 3 2??(?) e?ax,x?00,x?0 f(x)?? （a>0） 1 2?a?i?14 f(x)???e?ax,x?0eax,x?0 （a>0） a ?a2??2a 22?a??12?2与Fc(?)相同 与Fs(?)相同 5 f(x)?e?ax,x?0?eax,x?0 （a>0） 26 f(x)???1,0?x?b0,?b?x?0 (b>0) ?e??i?i?b?1 与Fc(?)相同 与Fs(?)相同 ? 7 f(x)?1,0?x?b1,?b?x?0 (b>0) 2sin?b?8 f(x)??1,0?x?b?1,?b?x?0 (b>0) 21?cos?b?9 ?1,Re(a)?0 a2?x21?a??e a2i??a?e 2a210 x,Re(a)?0 222(a?x) 27

11 cosbx,Re(a)?0,Imb?0 a2?x21,Re(a)?0 a2?x21?a??ba??b ?e?e2a2i?a??ba??b e?e2a2?? 12 ?? 13 e?ax2,Re(a)?0 1e2a??24a sin?0x ?x例9.9.2 求证

1??2?,???0F(?)??0,???0 ????0??1?cos??。 d????2???2证明 因为fs(x)?1 ?0?x?1?的正弦傅里叶变换为 Fs????再利用表9-2恒等式4得 于是

21?cos??2?

??0?21?cos??1??d???dx?1 ??0??????0??1?cos?? 证毕 d????2???22例9.9.3 求证

??0??sin????d??。

2???证明 因为fc(x)?1 ?0?x?1?的余弦傅里叶变换为 Fc????再利用表9-2恒等式3得 于是

2sin???

??f0?c(x)?dx?1??Fc???d???02?2?02?sin????d? ????2??0??sin????d?? 证毕

2???28

2

例9.9.4 求证

??1???02??2d??4?32。

12证明 因f(x)?e?x的傅里叶变换F?????1??2，利用微分性质

dd?F???????ixf?x?? 即

?14?i2??1??2?2???xe?x?

再利用表9-2恒等式2得 2

?????14i?2??1??2?2d????x2e?2x??dx

=2??10?2e?2?d??2 所以

??16?2???1??2?4d???

于是

???20?1??2?d???432 证毕例9.9.5 求证??sin3?d??30?38?

证明 因为

f1;1?x????0;?0?x?1?x?1?,F1????2sin???

f?1?12?x???2x;?0?x?2?,F2sin2??0;?x?2?2??????2 利用表9-2恒等式1得 2?sin3??????d???1??1??1?12x???dx?332

于是

3

??sin?0?d??338? 证毕

29

例9.9.6 求证证明 因为

??sin4?0?41d???

3x;?0?x?2??1?12sin2?2,F???? f?x???0;?x?2? 2???利用表9-2恒等式2得 于是

2????sin4????44?1?d????1?x?dx?

?23?2?22?sin4?0?41d??? 证毕

3用傅里叶变换求解偏微分方程的大量例子将在第十八章给出。

§9.11 三种定义式

在实际应用中，傅里叶变换常常采用如下三种形式，由于它们采取不同的定义式，往往给出不同的结果，为了便于相互之间的转换，特给出如下关系式：

（ⅰ）

F1????12?????f?t?e?i?tdt， f?t??12?????F1???ei?td?

（9.11.1） （ⅱ） F2????（ⅲ）

F3????????f?t?e?i?t1dt， f?t??2?????F2???ei?td? （9.11.2）

?f?t?e????i2??tdt， f?t???F3???ei2??td? （9.11.3）

???三者之间的关系为 F1????本书采用的是第一种定义式。

习题

9.1

30

12?F2???????F3?? （9.11.4）

2?2???1

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