傅里叶级数和傅里叶变换(8)

2. 特殊值

（a）Pl?1?=1 （16.2.5a） （b）Pl??1????1? （16.2.5b）

l???（当l为奇数时）(c) Pl?0???0 （16.2.5c） l??l?1l?!!??1?2(当l为偶数时）l??22???!??2?或

P2k?1?0??0 P2k?0????1?k?2k?1?!! （16.2.5d）

?2k?!!其中?2k?!!?2k??2k?2????6?4?2,?2k?1?!!??2k?1???2k?1????5?3?1现分别证明如下：

证明

（a） 令生成函数等式（16.1.13）中的x=+1，得

?1 ??Pl?l?rl （r<1）

1?rl?0?1 ??rl (r<1)

1?rl?0所以Pl?1?=1

（b） 令生成函数等式（16.1.13）中的x=-1,得

?1 ??Pl??1?rl （r<1）

1?rl?0?1l ????1?rl （r<1）

1?rl?0所以Pl??1????1?

l（a） 令生成函数等式（16.1.13）中的x=0，得 按二项式展开定理，有

11?r2??Pl?0?rl （r<1）

l?0? 36

?1?2?1r?2?1?12?1??3?r4k1?3?5????2k?1?22r????2?????2??2!?...???1?2kk!rk?...(r?1) 所以

Pk?2k?1?!!2k?1?0??0， P2k?0????1??2k?!!

16.2.3 Pl?x?的正交性及模N2l 1.正交性

?1?1Pn?x?Pl?x?dx?N2l?n,l （16.2.6）其中

?1?n?l?n,l??0;?n?l?

证明 因为

ddx??1?x2?P'l?x???l?l?1?Pl?x??0 ddx??1?x2?P'l?x???n?n?1?P?x??0 上述两式相减，并且在??1,1?区域上对x积分，得

?12'2'?1?Pn?x?ddx??1?x?Pl?x???Pd?l?x?dx??1?x?Pn?x????dx =?n?n?1??l?l?1???1?1Pl?x?Pn?x?dx

因为上面等式左边的积分值为

?1?x2??P''n?x?Pl?x??Pl?x?Pn?x??1?1?0

所以，当n?l有 ?1?1Pl?x?Pn?x?dx?0

当n?l时

?1P?x?P?2?1llx?dx?Nl?0

下面我们来计算这一常数值N2l

3. 模N2l

N21l=??1P2l?x?dx?22l?1 （16.2.7） 证明 将生成函数（16.1.13）自乘，且在??1,1?区间上对x积分，得

37

??1?2rx?r??11dx222????Pl?x?Pn?x?rn?ldx

n?0l?0???1?1 =另一方面

???n?0l?0?1?1rN?n,l??Nl2r2l

2l2ll?0???1?2rx?r??11dx222??1ln1?2rx?r22r??1?1

?11?r2?r2l?12 =ln????r2l

r1?rrl?0?2l?1?l?0?2l?1?所以

N12l=?1?Pl2?x?dx?2 2l?116.2.3 勒让德多项式的递推公式

在（16.2.1）中，我们对生成函数（16.1.13）求过r的导数，现在我们再来对它求x得导数，得

即

1?2rx?r?Gr?G?r,x? ?x1?2rx?r22?G???rG?r,x? ?x将上式的生成函数G?r,x?以级数G?r,x?形式来表示，即

'l' 1?2rx?r2P0'?x??rP1?x??????rPl?x????? 2l = rP0?x??r1P1?x??rP2?x??????rPl?x?????

?????l?归并r的同幂次项，得 所以

Pl?x??2xPl?1?x??Pl?2?x??Pl?1?x?=0

'''??P?x??2xP?x??P?x??P?x??r''l?1'l?2l?1l?0

今后约定，对于推导的递推公式适用于一切正整数l；但需注意的，当下角标取负整数时，需令它为零，例如今后l约定

P?1?x??0 P?2?x??0 等等

在上式中再作变换，令l?l?1，然后又抹去上l的角标一撇，于是得第一个递推公式

（1） Pl?x??Pl?1?x??2xPl?x??Pl?1?x?

''''' 38

将G?r,x?对r求导所得的递推公式（16.2.3）作为我们的第二个递推公式

（2）Pl?1?x??1??2l?1?xPl?x??lPl?1?x?? l?1将（2）式中的Pl?1?x?代入（1），得

''（3）lPl?x??xPl?x??Pl?1?x?

将（2）式中的Pl?1?x?代入（1）式，得

'（4）Pl'?1?x??xPl?x???l?1?Pl?x?

'从（1）（3）中消去xPl?x?，得 ''（5）?2l?1?Pl?x??Pl?1?x??Pl?1?x?

将（4）式中的l换成l-1，然后用（3）式消去Pl'?1?x?，得

'（6）x2?1Pl?x??lxPl?x??lPl?1?x?

??对（5）式，从l?0到l?n求和，得 （7）

??2l?1?P?x??P?x??P?x?

l'n?1'nl?0n ??

以上都是一些常用的递推公式，主要用来计算含有勒让德多项式的积分。下面举几个例子来说明它的应用。

例16.2.1

?1?1xPl?x?Pn?x?dx?? xPl?x?Pn?x?dx

{本题利用递推公式（2）较适宜，有 =

?1?111??12l?1??l?1?Pl?1?x??lPl?1?x??}Pn?x?dx

1l?11l????PxPxdx?Pl?1?x?Pn?x?dx =N?1n???1?12l?12l?12n??4n2?1;?当l?n?1时? =?2?n?1?;?当l?n?1时?

?2n?3??2n?1???0;(当l?n??1时）例16.2.2

?P?x?dx??

0l1利用递推公式（5）较适宜，有

?10Pl?x?dx?1?Pl?1?x??Pl?1?x??10 2l?139

=?1?Pl?1?0??Pl?1?0???1Pl?1?0? 2l?1l?1上式推导中最后一步利用了递推公式（2）。在递推公式（2）中令x=0得 Pll?1?0???l?1Pl?1?0? 往下计算，我们需要用到勒让德多项式特殊值（16.2.5d），最后得

?1;?当l?1? ?1?1 ;?当l?1?0Pl?x?dx??2?0;?当l?2???1?k?k,k?12k?1?!!?

?2k?2?!!;?当l?2k?1,k?1?例16.2.3 求证

?1?当l?1? ?1?12;3;?0xPdx??当l?1?l?x?0;?当l?2k?1,??k?1 2????1?k?1k?2?!!?2k,k?1?22k?k?1?!?k?1?;?当l!证明 本题适宜用递推公式（5），然后分部积分，得

?1x0xPl?x?dx?2l?1?Px??11l?1?x??Pl?1?0?12l?1?0?Pl?1?x??Pl?1?x??dx 再利用上题结果，得

P ?1?Pl?0?Pl?2?02l?1??l?2???l?? 然后，再用Pl?0?的值式（16.2.5d），即得所证。

例16.2.4 以下几个例子都是直接利用递推公式（2）的结果

x2?x?P?x??21

13P2?x??3P0?x?x3?x?x2?x?xP?21?31?x???x??3P2?x??3P0?x????25P3?x??5P1?x? x4?x?x3??x??2?5P3?8413?x??5P1?x????35P4?x??7P2?x??5P0?x?

利用公式（16.1.8）可以证明：若f?x?是xk幂的多项式，且最高幂次为n。因为 ?1?1xnPl?x?dx?0 (n

所以的展开式为

f(x)??nclPl?x?

l?0例如，f?x?=x2则

x2?coP0?x??c1P1?x??c2P2?x?

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