傅里叶级数和傅里叶变换(5)

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类似的，由于cos??是?的偶函数，所以Fc(?)也是?的偶函数，则

fc(x)=

2???0Fc(?)cos??d? （9.8.12b）

式（9.8.12a）及（9.8.12b）称为傅里叶余弦变换及其逆变换。

（b）若f(x)是奇函数，我们用fs(x)表示，则有

fs(x)=?fs(?x)

类似上述推导，可得

Fs(?)=

??22?0fc(?)sin??d? （9.8.13a）

fs(x)=

???0Fs(?)sin??d? （9.8.13b）

式（9.8.13a）及（9.8.13b）称为傅里叶正弦变换及其逆变换。

如果将上述傅里叶变换推广到三维空间，则有

F(k)?1(2?)32???f(r)e?ik?rd3r （9.8.14a）

f(r)?1(2?)32?ik?r3F(k)edk （9.8.14b） ???§9.9 傅里叶变换的性质

今后我们称

F(?)?12?????f(x)e?i?xdx （9.9.1）

（其中已将式（9.8.11b）中的?变量换成x，其结果不受影响）为f(x)的傅里叶变换（或像函数），记为

F(?)=?(f(x)) （9.9.2）

而称

f(x)?12?????F(?)ei?xd? （9.9.3）

为F(?)的傅里叶逆变换（或像原函数），记为

f(x)=??1?F(?)? （9.9.4）

为了今后叙述的方便，在讨论傅里叶变换的性质之前，我们假定下面提到的函数均满足存在

傅里叶变换的条件，即

（1）函数在任何一有限区间上满足狄利克雷条件；

（2）函数在无限区间???,??上绝对可积 9.9.1

线性性质

设F1(?)???f1(x)?,F2(?)???f2(x)?,且c1与c2为常数，则

??c1f1(x)?c2f2(x)??c1F1(?)?c2F2(?) （9.9.5）

证明因为

12??????c1f1(x)?c?i?x2f2(x)?edx

1?i?x?1??2?????c1f1(x)edx2???c2f2(x)e?i?xdx

=c1F1(?)?c2F2(?)

9.9.2

位移性质

设F(?)???f(x)?,，且x0为实常数，则

??f(x?x0)??e?i?x0F(?) （9.9.6）

12?????f(x?x?i?x0)edx?1(x?x0)2?????f(x?x0)e?i?e?i?x0dx

=e?i?x0?1?2????f(?)e?i??d??e?i?x0F(?)

9.9.3

相似性质

设F(?)???f(x)?,，a是实常数，且a?0，则 ??f(ax)??1aF(?a) （9.9.7）证明

1??11?f(ax)e?i?xdx???a2????f(x)e?iaxdx;(当a?0)2???????11?a2????f(x)e?i? axdx;(当a?0) =

11??1a2????f(x)e?iaxdx?aF(?a) 9.9.4

微分性质

证毕 22

如果当x???时，f(x)?0,又F(?)???f(x)?，则

?f'(x)?i?F(?) （9.9.8）

证明

??12?12?????f'(x)e?i?xdx

12?? =

f(x)e?i?x?????(i?)?f(x)e?i?xdx

?? =(i?)F(?) 证毕推论若limfx??(k)(x)?0,(k?0，,,1，2，???，n?1)，则有

?f(n)(x)?(i?)nF(?) （9.9.8a）

9.9.5

积分性质

设F(?)???f(x)?，则

x1???f(?)d???F(?) （9.9.9） ???x0?i???证明

令

g(x)?因为g'(x)=f(x)，所以

?xx0f(?)d????1?G(?)?

?g'(x)???f(x)??F(?)

根据（9.9.8），又有

???g'(x)?i?G(?)

所以G(?)???1F(?)，故 i?x1???f(?)d???F(?) 证毕 ???x0?i?9.9.6 卷积定理

设F(?)???f(x)?，G(?)???g(x)?，则f(x)和g(x)在区间(??,?)上的卷积定义为

f(x)*g(x)??f(x??)g(?)d?

???以及

F(?)*G(?)???F(???)G(?)d?

??则

??f(x)*g(x)??2?F(?)G(?) （9.9.10a） ??2?f(x)g(x)??F(?)G(?) （9.9.10b）

证明我们先来求

1?2????f(x??)g(?)d?

的傅里叶变换

1???2????1?2????f(x??)g(?)d?????e?i?xdx

1?2????g(?)e?i??d???1?2???f?x???e?i?(x??)dx?????

（作变换令??x??，得）

1?2????g(?)e?i??d???1?2?????f???e?i??d????

=F(?)G(?) 同理可证（9.9.10b）。

9.9.7 乘积定理

设F1(?)???f1(x)?，F2(?)???f2(x)?，则

???*???f1(x)f2(x)dx????F1(?)F2(?)d?????F1(?)F*2(?)d? 其中F**1(?),F2(?)分别为F1(?),F2(?)的共轭复数。

证明因为

??f)f??1??1(x2(x)dx=?f1????F2(?)e?i?xd????(x)??2???dx =1??2???F2(?)???????f1(x)e?i?xdx???d? 又因f?i?x1(x)是x的实函数，而e?(e?i?x)*，所以

fx1(x)e?i??f1(x)(e?i?x)*?(f1(x)e?i?x)*

证毕

9.9.11）24

（

于是

????f1(x)f2(x)dx=

?????i?x???F2(?)??1?2???(f1(x)e)*dx??d? =????F2(?)F*1(?)d?

同理可证

?????f1(x)f2(x)dx=???F1(?)F*2(?)d? 证毕

9.9.8

能量积分

设F(?)???f(x)?，则

???f(x)?2dx???????F(?)2d? （9.9.12）

上式又称为帕塞瓦尔等式。

证明在是（9.9.11）中，令f1(x)=f2(x)=f(x)，即得所证 9.9.9