傅里叶级数和傅里叶变换(7)

第十六章 勒让德函数

在球坐标系中求解数学物理方程时，常常会遇到一类特殊函数，由于这类函数的多项式形式，最早被法国数学家勒让德（A.M.Legendre）（1725~1833）专门研究过（1785年），所以命名这类函数为勒让德函数以及勒让德多项式。

现在勒让德函数在科学技术领域的应用已及其普遍，所以我们有必要对其进行详细研究。

§16.1 勒让德多项式的定义及表示

16.1.1 定义及级数表示

以前我们已叙述过，在球坐标中分离变量时，可得?所满足的方程

1d?d???2m2? ??2???0 （16.1.1） ?sin?????sin?d??d???sin??令，

x?cos?，

（16.1.2） x?s?2?l?l?1?， y?x?????????arcco则方程（16.1.1）转化为连带勒让德方程

?d?m2?2dy? 1?x??l?l?1??y?0 （16.1.3）2???dx?dx??1?x?式中的本征值m与变量?的本征值有关。若研究的问题具有旋转对称，即定解问题的解与?无关，这时m=0，方程 （16.1.3）转化为熟知的勒让德方程

??

d?2dy? 1?x?l?l?1?y?0 （16.1.4）??dx?dx???上述方程有两个线性独立的解，即勒让德函数。

如果问题要求方程（16.1.4）在区间??1,1?上的解是有限的，则l必须取整数值，当l为整数时其中有一个解是多项式，而且只有这多项式的解满足上述条件。我们定义这多项

式为勒让德多项式。如图16.1所示。 其级数形式为

Pl?x?????1?k?0?l??2???k?2l?2k?!l?2kx

2lk!?l?k?!?l?2k?!l其中??表示的整数部分，若l为偶数，??=；若l为奇数，??=。

2?2??2?2?2?2

31

?l?l?l??l?l?1因此式也可以写成

1 P2l?x??2l2 P2l?1?x??k???1?k?0l?4l?2k?! x2l?2k （16.1.6a）

k!?2l?k?!?2l?2k?!?4l?2?2k?!x2l?1?2k

k!?2l?1?k?!?2l?1?2k?!（16.1.6b）

2k???12l?1?k?01l如果在领域求解方程，有 Pl?x???l?k?!?x?1?k （16.1.7）

?2k??l?k!k?02?k!?l116.1.2 微分表示

勒让德多项式（16.1.5）可以表示成如下的微分形式：

l1dl2x?1 Pl(x)?l （16.1.8）

2l!dxl????上式通常又称之为勒让德多项式的罗德里格斯表达式。

下面我们来证明表达2式（16.1.8）和（16.1.5）是相等的. 证明 按二项展开定理，有

?x于是

2?1??k?0?ll????1??x?lkk2l?k????1?k?0lkl!x2l?2k

k!?l?k?!ll121! lx?1????1?lx2l?2k

2l!2k!?l?k?!k?0??k

由于对x求导l次，凡是幂?次2l?2k??l的项，在l次求导后为零，因需而保只留幂次?2l?2k??l的项，即k?即kmax???。此外，有 ?2?lll?1得项，因而l为偶数时kmax?；l为奇数时，kmax?，222?l?dl2l?2kx??2l?2k??2l?2k?1?????2l?2k??l?1??xl?2k ldx因此

l1dl2x?1 l l2ldx?? 32

=

???1?k?0k???1?k?0?l??2????l??2???k?2l?2k??2l?2k?1?????l?2k?1?xl?2k

2lk!?l?k?!?Pl?x? 证毕

=

?2l?2k?!l?2kx2lk!?l?k?!?l?2k?!1?16.1.3 积分表示

勒让德多项式（16.1.5）也可表示成如下的积分形式： Pl?x????0?x?x?1cos?d? （16.1.9）

2?l上式也称为勒让德多项式的拉普拉斯积分表示式。

公式（16.1.9）证明如下： 证明 利用柯西积分公式

f?z??再对上式的z微分l次，得

1f???d? ?2?i??zl!f????d?d? 1 ??f?z??l?1?2?i???z??dz?l因此，由式（16.1.8）可得

1?2?1d? Pl?z??ll?1?22?i???z?令z=x，并把上式中的积分围线C取作以x点为圆心， 而

??1?x?2??lx2?1为半径的圆，即

??x?x2?1?iei??d??i???x?d?

?x2?1ei???1??x22?11?ei2??2xx2?1ei?

??? =2x2?1ei?x?利用上式可得

?x2?1cos??2???x?x?x2?1cos?

???l12?2x?x?1cos?d? Pl?x???02?l1?2 Pl?x???x?x?1cos?d? 证毕

???0??利用积分表达式（16.1.9），可以证明

P ,1? （16.1.10）l?x??1 x???1证明 Pl?x????1?0x?i1?xcos?d??2l??1?0?x?1?xcos?d?

2?2?2?l 33

=

1???0?xsin??cos?d??222?l1???0d??1 证毕

16.1.4 勒让德多项式的生成函数

利用勒让德的拉普拉斯积分表达式（16.1.9），可构成下列函数级数的和：

?hP?x?????h?x??l1??lll?00x?1co?sd? d?22?

ll?0 =

1?1??01?hx?x?1cos??? =

?1?hx?2?hx?1??cos???2?hx?1?上面推导中，我们利用了h<1的假设以及公式

0???d????11?2hx?h2 （16.1.11）

??0d??a?cos??a?12 ?a?1?

ll因为在??1,1?区间上Pl?x??1；再假设h?1，则在区间??1,1?上，Pl?x?h?h，所以函数项级数

?hP?x?收敛，若h?1，可令hlll?0?1?l1，因此h1?1，并且得 h?

11?2hx?h2?h11?2xh1?h12?h1??h1?Pl?x???l?0l?0?1Pl?x? hl?1（16.1.12）

利用式（16.2.1）及式（16.2.2）可定义一个勒让德多项式的生成函数，它等于上述函数项级数之和，并记之以符号G?r,x?，即

??rlPl?x?;?r?1?1??0??l? ??1?x?1? （16.1.13） G?r,x?=12P?x?;?r?1??l1?2xr?r??l?0rl?1利用上式（16.1.13），我们可以得到一个重要的公式

?1r?r'?1?r'2?r'2?2r'rco?s?12r?l??l?1Pl?co?s? （16.1.14）

r?'其中r?代表r与r中的较小者，r?代表r与r中的较大者。 §16.2 勒让德多项式的性质

我们将生成函数（16.1.13）对r微分，得

?Gx?r?G?r,x? （16.2.1） 2?r1?2rx?r34

即

1?2rx?r?2G????x?r?G?r,x? ?r将G?r,x?的级数形式（16.1.13）代入上式，得

l?1 1?2rx?r2PPl?x????? 1?x??2rP2?x??????lr2l =?x?r?P0?x??r1P1?x??rP2?x??????rPl?x?????

??????归并r幂次相同的项，得

?P1?x??xP0?x????2P2?x??3xP1?x??1?r???? （16.2.2） l???l?1?Pl?1?x???2l?1?xPl?x??lPl?1?x??r?????0因此，上式中r幂次前的所有系数应为零。由这一条件可以得到Pl?x?的具体形式，即 P0?x?=1 P1?x?=x

13x2?1 212 P3?x?=5x?3x

2142 P4?x?=35x?30x?3

8 P2?x?=

?????? ?? 特别是

Pl?1?x??16.2.2 特殊性质 1. 奇偶性

Pl??x?=??1?Pl?x? （16.2.4）

l1??2l?1?xPl?x??lPl?1?x?? （16.2.3） l?1只要在生成函数定义（16.1.13）两边，作代换x???x?,r???r?，由于左端代换后仍保持不变，所以 即得所证。

这性质说明，Pl?x?的奇偶性完全由l来确定，当l为偶数时，Pl?x?是偶函数；当l为奇数时，Pl?x?是奇函数。

11?2rx?r2????r?Pl??x???rlPl?x?

l?0l?0?l? 35

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